求数学大神帮忙解答：已知函数f(x)=x ln x,g(x)=k(x-1)

请教一道高中数学题 记函数f(x)=ln(x+1),g(x)=x~

记函数f（x）=ln（1+x），g（x）=x．
（1）若函数F（x）=af（x）+g2（x）在x=1处取得极值，试求a的值；
（2）若函数G（x）=af（x）+g2（x）-b•g（x）有两个极值点x1，x2，且x1∈[-
45，-
35]，x2∈[0，1]，试求a的取值范围；
（3）若函数H（x）=1f(x)-
1g(x)对任意x1，x2∈[1，3]恒有|H（x1）-H（x2）|≤a成立，试求a的取值范围．
（参考：ln2≈0.7）考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值；简单线性规划．专题：综合题．分析：（1）先根据F（x）=aln（x+1）+x2，求得F′（x）=a1+x+2x，根据F′（1）=0，可以求出a的值；
（2）通过对G（x）求导，再研究导数的分子对应的二次函数根的分布，在aob坐标系中作出符合题意的不等式组对应的平面区域，通过求界点的方法，可找出a的取值范围；
（3）对H（x）求导，得到一个分式函数，再研究此函数的分子对应的函数，发现此函数的最大值为零，从而得出函数H（x）在区间[0，+∞）上单调递减，再结合题意得a≥|H（x）max-H（x）min|，从而得出a的取值范围．解答：解：（1）由F（x）=aln（x+1）+x2，可得F′（x）=a1+x+2x，根
由题意得F′（1）=0，即a2+2=0，故a=-4；
（2）G（x）=aln（x+1）+x2-bx （x＞-1），
求得 G′（x）=2x 2 +(2-b)x+(a-b)1+x
令分子为h（x）=2x2+（2-b）x+（a-b），由题意得：h(1)=a-2b+4≥0h(0)=a-b≤0h(-35) =a-2b5-1225≤0h(-45) =a-15b-825≥ 0​
化简得：a-2b+4≥0a-b≤025a-10b-12≤025a-5b-8≥0​，

由图可得A(25，85) ，B(85，145)，由此可得a∈[25，85]
（3）由H（x）=1ln(1+x)-1x得：H/(x)=(1+x)ln 2(1+x)-x 2x 2(1+x) 2ln 2(1+x)
记分子为m（x）=（1+x）ln2（1+x）-x2，（x＞-1），可得m′（x）=ln2（1+x）+2ln（1+x）-2x，
根据m′（x）的零点不难得出m（x）在区间（-1，0）上为增函数，在（0，+∞）上为减函数，
故m（x）≤m（0）=0，因此可得H′（x）≤0在区间[0，+∞）上恒成立，
所以H（x）在区间[0，+∞）上单调递减，
故H（x）在[1，3]上单调递减，
再由题意，可知：a≥|H（x）max-H（x）min|=|H（1）-H（3）|=12ln2-23
所以a的取值范围是[12ln2-23，+∞)点评：本题考查了利用导数工具研究函数的单调性与极值，求函数在闭区间上的最值问题，同时考查了含有二次和对数函数的零点的分布问题，综合性较强，属于难题．利用数形结合与分类讨论思想是解决本题的关键．

（Ⅰ）先对函数求导，然后由由已知f'（2）=1，可求a
（II）先求函数f（x）的定义域为（0，+∞），要判断函数的单调区间，需要判断导数f′(x)＝2x+2ax＝2x2+2ax
的正负，分类讨论：分（1）当a≥0时，（2）当a＜0时两种情况分别求解
（II）由g（x）可求得g′（x），由已知函数g（x）为[1，2]上的单调减函数，可知g'（x）≤0在[1，2]上恒成立，即a≤1x−x2在[1，2]上恒成立，要求a的范围，只要求解h(x)＝1x−x2，在[1，2]上的最小值即可解：（Ⅰ）f′(x)＝2x+2ax＝2x2+2ax…（1分）
由已知f'（2）=1，解得a=-3．…（3分）
（II）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．
（1）当a≥0时，f'（x）＞0，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）； …（5分）
（2）当a＜0时f′(x)＝2(x+−a)(x−−a)x．
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下：
x(0，−a)−a(−a，+∞)f'（x）-0+f（x）极小值由上表可知，函数f（x）的单调递减区间是(0，−a)；
单调递增区间是(−a，+∞)．…（8分）
（III）由g(x)＝2x+x2+2alnx得g′(x)＝−2x2+2x+2ax，…（9分）
由已知函数g（x）为[1，2]上的单调减函数，
则g'（x）≤0在[1，2]上恒成立，
即−2x2+2x+2ax≤0在[1，2]上恒成立．
即a≤1x−x2在[1，2]上恒成立．…（11分）
令h(x)＝1x−x2，在[1，2]上h′(x)＝−1x2−2x＝−(1x2+2x)＜0，
所以h（x）在[1，2]为减函数.h(x) min＝h(2)＝−72，
所以a≤−72．…

设g(x)=ln(x-1) （x＞1）
h(x)=k(x-1)-1 （x＞1）
原题目相当于若g(x)与h(x)没有交点，求k的取值范围，
分析：g(x)=ln(x-1)图像固定，h(x)过定点（1,-1），然后围绕这个点根据k值不同，斜率变化。图中红色区域所示的范围就是k值在满足要求条件下所允许的范围。
垂直于x轴，则k趋于无穷大，不用限定k，
关键在求斜着那条线的斜率，很明显，两个曲线相切时候是分界点，分别求g(x)、h（x）导数：
g（x）导=1/（x-1）
h(x)导=k
令切点为x=a时，两曲线在x=a应有相同斜率，则有
g（a）导=1/（a-1）=h(a)导=k 由此推出k=1/a-1
两曲线相切于x=a,则x=a时，两函数y值应该相等即h(a)=g(a)
h(a)=k(x-1)-1 =1/(a-1)*(a-1)-1=0
g(a)=ln(a-1)=h(a)=0，则a=2,可得k=1/a-1=1,
则k的取值范围为k＞1，注意不是≥，因为等于时候相切，就有唯一交点（2,0）了。
第二种思路：（用到极限，可能高中阶段没有多涉及）
对题中函数求导f（x）导=1/（x-1)-k；(x>1)
显然：
1. k小于等于0时，f(x)导>0恒成立，则f（x）单调增
limf(x)x趋于 1=-无穷，
limf(x)x趋于 无穷= 无穷
-无穷到 无穷的变化(函数为不间断函数)必然经过零点，单调增，则只有一个零点
2. 同理当k>0的时候，
必存在一点x=a,有f(x)导=0，则 由此推出k=1/a-1
且有：区间（1，a）上有f(x)导大于零恒成立，则f(x)在此区间单调增；
区间（a, 无穷）上有f(x)导小于零恒成立，则f(x)在此区间单调减；
f(a)导=0，f(x)在此区间存在极大值，函数f(x)在定义域是连续平滑曲线，则极大值就是最大值；
limf(x)x趋于1=-无穷
若再有最大值f(a)<0，即可说明无零点,反之，f(a)大于等于0,则至少有一个零点，有几个这里不作讨论了，感兴趣的可以再问我（答案是无论小于还是等于0都只有一个零点）。
f(a)=ln(a-1)-k(a-1) 1=ln(a-1)-1/(a-1)*(a-1) 1=ln(a-1),
由上可知，若ln(a-1)<0,则没有零点，得出a<2,则k=1/(a-1)>1
综上所述，k>1时，函数f(x)没有零点。
打字打得困了~这里对于极大值就是最大值，连续函数的论证没有认真思考，看得仔细的可能看出来了，可以一起讨论下。

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