过双曲线任意一点P（非顶点）的切线交准线于点Q ,F为此准线对应焦点求证 PF垂直QF

F 1 ，F 2 是双曲线的两个焦点，Q是双曲线上任一点，从焦点F 1 引∠F 1 QF 2 的平分线的垂线，垂足为P，~

设O为F 1 F 2 的中点延长F 1 P交QF 2 于A，连接OP据题意知△AQF 1 为等腰三角形所以QF 1 =QA∵|QF 1 -QF 2 |=2a∴∵|QA-QF 2 |=2a即AF 2 =2a∵OP为△F 1 F 2 A的中位线∴OP=a故点P的轨迹为以O为圆心，以a为半径的圆故选B

（必背的经典结论）
高三数学备课组
椭 圆
1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.
2. PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.
3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.
4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
5. 若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.
6. 若在椭圆外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.
7. 椭圆 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为.
8. 椭圆（a＞b＞0）的焦半径公式：
,( , ).
9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.
10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.
11. AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，
即。
12. 若在椭圆内，则被Po所平分的中点弦的方程是.
13. 若在椭圆内，则过Po的弦中点的轨迹方程是.
双曲线
1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.
2. PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.
3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.
4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支）
5. 若在双曲线（a＞0,b＞0）上，则过的双曲线的切线方程是.
6. 若在双曲线（a＞0,b＞0）外 ，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.
7. 双曲线（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意一点，则双曲线的焦点角形的面积为.
8. 双曲线（a＞0,b＞o）的焦半径公式：( ,
当在右支上时，,.
当在左支上时，,
9. 设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF.
10. 过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.
11. AB是双曲线（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，即。
12. 若在双曲线（a＞0,b＞0）内，则被Po所平分的中点弦的方程是.
13. 若在双曲线（a＞0,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是.
椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）
高三数学备课组
椭 圆
1. 椭圆（a＞b＞o）的两个顶点为,，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是.
2. 过椭圆 (a＞0, b＞0)上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且（常数）.
3. 若P为椭圆（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点, , ，则.
4. 设椭圆（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，记, ,，则有.
5. 若椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当0＜e≤时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.
6. P为椭圆（a＞b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则,当且仅当三点共线时，等号成立.
7. 椭圆与直线有公共点的充要条件是.
8. 已知椭圆（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为;（3）的最小值是.
9. 过椭圆（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则.
10. 已知椭圆（ a＞b＞0）,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点, 则.
11. 设P点是椭圆（ a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，则(1).(2) .
12. 设A、B是椭圆（ a＞b＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，, ,，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1).(2) .(3) .
13. 已知椭圆（ a＞b＞0）的右准线与x轴相交于点，过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于A、B两点,点在右准线上，且轴，则直线AC经过线段EF 的中点.
14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.
15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.
16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).
（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）
17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.
18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.

椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）
高三数学备课组
双曲线
1. 双曲线（a＞0,b＞0）的两个顶点为,，与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是.
2. 过双曲线（a＞0,b＞o）上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且（常数）.
3. 若P为双曲线（a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1, F 2是焦点, , ，则（或）.
4. 设双曲线（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF1F2中，记, ,，则有.
5. 若双曲线（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当1＜e≤时，可在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.
6. P为双曲线（a＞0,b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线内一定点，则,当且仅当三点共线且和在y轴同侧时，等号成立.
7. 双曲线（a＞0,b＞0）与直线有公共点的充要条件是.
8. 已知双曲线（b＞a ＞0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且.
（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为;（3）的最小值是.
9. 过双曲线（a＞0,b＞0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则.
10. 已知双曲线（a＞0,b＞0）,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点, 则或.
11. 设P点是双曲线（a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，则(1).(2) .
12. 设A、B是双曲线（a＞0,b＞0）的长轴两端点，P是双曲线上的一点，, ,，c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1).
(2) .(3) .
13. 已知双曲线（a＞0,b＞0）的右准线与x轴相交于点，过双曲线右焦点的直线与双曲线相交于A、B两点,点在右准线上，且轴，则直线AC经过线段EF 的中点.
14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.
15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.
16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).
(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).
17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.
18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.

额，这个让我想到了椭圆切线的做法，双曲线也是类似的……

先把椭圆的切线做法写上：

在椭圆上任找一点A；

过A、F2作直线AD；

再过F2作AD的垂线交椭圆准线于点C；

再过A、C作直线，则直线AC即为切线。

椭圆切线做法具体证明在我空间里有，有兴趣可以看下：

http://user.qzone.qq.com/676648333/blog/1247156293

双曲线切线的做法应该也是一样的，所以很容易知道PF垂直于QF

下面是证明：

额，不知道这个方法你会不会……就是对双曲线方程的隐函数求导，得到切线斜率，而且比较麻烦。思路是：如图，要证明三角形GHP相似于三角形GFQ

设P(x,y)

PH=x-a^2/c GE可以算得=y*(1-a*x/c)   则GH=2*y-a*x*y/c

勾股定理得到FG（额，这个计算够麻烦了……汗，我不算了）

对x^2/a^2-y^2/b^2=1隐函数求导得y'=b^2*x/(y*a^2)即PQ的斜率再，由PH可求得QH，则能得到QE，然后勾股定理求得FQ 则由FQ/PH=FG/HG可证明三角形相似，得到角GFQ=90度，即FQ⊥PF

话说还是那个几何法好点，高中的东西都忘完了……汗，不知道双曲线的切线都有什么性质，可能还有更好的计算方法吧

话说 mawenvshuan ，这年头我见过的想不开人太多了，你是我见到的第N个，不要把你自己的怨恨加到别人头上，这和（传销的）犯罪分子没区别。你骂的不是一个人，或者是应该骂的那类人，你是在骂我们所有河南人，看不起那种说话不经过大脑，不仔细想想别人感受的人，我质疑你的教养……不知是谁这么无能教出你这样的人，养出你这种人……这种表现只能给中国人抹黑，只能说明国民整体素质还很低，网民平均素质超级差……

河南是是世界上最垃圾的一个省，南阳市是世界上最恶心的一个城市，南阳人是世界上最不算人的人，全国搞传销的都跑到河南南阳去了，我小舅子也被骗去了，河南南阳的警察根本就不是人，报警根本就不管，几十万人都跑到南阳去搞传销，我觉得南阳市应该改名叫传销市，南阳警察应该改名叫狗警，我为跟你们同是中国人而感到万分的耻辱！我觉得应该将南阳的警察开出球籍。

---

杂多县15070711881： 已知双曲线xy=1,过其上任意一点P作切线与x轴,y轴分别交于Q,R. - ？
逯竖紫丹： (1)曲线xy=1,即y=1/x,曲线上任意一点P(xo,yo)的斜率为y'=-1/xo²,则切线方程为y=-1/xo²(x-xo)+yo,其中yo=1/xo,即切线方程为y=(-1/xo²)(x-xo)+1/xo 分别令x,y等于零得点R(0,2/xo),点Q(2xo,0),∵(0+2x0)/2=x0,(2/xo+0)/2=1/x0=y0 ∴P为QR中点 得证.(2)S△ORQ=(1/2)lOQllOPl=(1/2)*|2x0|2/x0|=2(定值),命题得证.

杂多县15070711881： 过圆锥曲线上任意一点的切线方程是什么? - ？
逯竖紫丹： 一般二次曲线Ax^2+Cy^2+Dx+Ey+F=0上一点(x`,y`),过该点的切线方程为Ax`x+Cy`y+D(x`+x)/2+E(y`+y)/2+F=0

杂多县15070711881： 已知一双曲线,点p是双曲线上任意一点,过点p的切线与两条渐近线交于M、N两点,求三角形MNO的面积? - ？
逯竖紫丹： 切线的性质:设曲线上某一个切点是P,那么在P附近极小的领域o(P,r)内的曲线只有这一个P与切线有交点;P点切线的斜率代表了曲线在P点的斜率;P的切线垂直于P的法线. 不失一般性设P(x0,y0)是双曲线在第一象限里一点,切线上M(x1,y1)...

杂多县15070711881： 证明:过双曲线上任意一点的切线平分这一点的两条焦点半径的夹角 - ？
逯竖紫丹： 建系,设双曲线方程,任设一点,用点斜式设出切线方程,与双曲线方程联立,DELTA=0,得出一个等式.再用点到直线方程求出2焦点到该直线距离.综合DELTA=0的等式,就可得出.

杂多县15070711881： 已知双曲线xy=1,过其上任意一点p作切线与x轴,y轴分别交于QR,求证:p平分QR;三角形OQR的面积为定值？
逯竖紫丹： 设直线为y=kx+b,则与双曲线联立 1/x=kx+b得kx^2+bx-1=0 则x=-b/(2k)时相切,y=-b/2,P点坐标为(-b/(2k),-b/2) 直线与X轴交点为(-b/k,0)与Y轴交点为(0,b) 得以证明(1)成立 (2)根据上面这个方程kx^2+bx-1=0判别式为0就可以解题了

杂多县15070711881： 设点P是双曲线 上除顶点外的任意一点, PF1F2的内切圆与边F1F2切于点M,求|F1M||F2M|的值. - ？
逯竖紫丹： 设△PF1F2的内切圆半径为R,且与PF1的切点为A,与PF2的切点为B 根据内切圆的性质,可轻易证得以下结论:(由直角三角形中,一条公共边以及一对儿等于半径的边,可证明两个直角三角形全等,得到三对儿这样的直角三角形) |PA|=|...

杂多县15070711881： 求双曲线y=1/x上任意一点p处的切线与两坐标轴围成的三角形面积. - ？
逯竖紫丹：[答案] y'=-1/x^2, 设点P(p,1/p),则切线方程为 y-1/p=(-1/p^2)(x-p), 与坐标轴交于点A(2p,0),B(0,2/p), ∴S△OAB=(1/2)|OA|*|OB|=2,为所求.

杂多县15070711881： 已知双曲线xy=1,过其上任意一点P作切线与x轴,y轴分别交于Q,R.求证:1.P平分QR 2. △OQR的面积是定值 - ？
逯竖紫丹： 函数y=1/x求导为-1/x^2,设切点为(t,1/t),则有 切线方程为:y=-(x-t)/t^2+1/t 而op直线方程为:y=x/t^2 因为两直线斜率互为相反数,故 角POQ=角PQO 所以PO=PQ 同样的有PO=PR 至于定值嘛,这个简单,看看P点坐标,横纵坐标之积为1,而△OQR的面积=2Xp乘以Yp

杂多县15070711881： 过双曲线上的点求切线方程 - ？
逯竖紫丹： ^用中学的方法只能算解释. 1. 直线:xp/a^2 -yq/b^2 =1 过(p,q)点. 2. 解方程组: xp/a^2 -yq/b^2 =1 ((1)) x^2/a^2 -y^/b^2 =1 ((2)) 其中 p^2/a^2 -q^2/b^2 =1 ((3)) ((1)),((2))==> x^2/a^2 =a^2/p^2[y^2q^2/b^4 +2yq/b^2+1]= =y^2/b^2 +1 ==> 0=[a^2/(b^2p...

杂多县15070711881： 过圆锥曲线上任意一点的切线方程是什么?？
逯竖紫丹： 写出圆锥曲线的方程,或者求导,或者用”蝶儿他“等于0求出斜率,再把那点坐标带进去就行了.