反函数必须是单调函数吗
不一定。
例如反比例函数y=k/x，(k≠0)
其反函数为f⁻¹(x)=k/x
反函数的定义域为(-∞，0)U(0，+∞)
反函数f⁻¹(x)在(-∞，0)、(0，+∞)上分别单调，但在(-∞，0)U(0，+∞)上不单调
不一定.
如分段函数f（x)={x,x≤0；-x+1,0它的反函数f-1(x)={x,x≤0；-x+1,0
题外话,单调函数是存在反函数的充分条件,不是必要条件
由该定义可以很快得出函数f的定义域D和值域f(D)恰好就是反函数f-1的值域和定义域，并且f-1的反函数就是f，也就是说，函数f和f-1互为反函数，即：
反函数与原函数的复合函数等于x，即：
习惯上我们用x来表示自变量，用y来表示因变量，于是函数y=f(x)的反函数通常写成。
例如，函数的反函数是。
相对于反函数y=f-1(x)来说，原来的函数y=f(x)称为直接函数。反函数和直接函数的图像关于直线y=x对称。这是因为，如果设(a,b)是y=f(x)的图像上任意一点，即b=f(a)。根据反函数的定义，有a=f-1(b)，即点(b,a)在反函数y=f-1(x)的图像上。而点(a,b)和(b,a)关于直线y=x对称，由(a,b)的任意性可知f和f-1关于y=x对称。
于是我们可以知道，如果两个函数的图像关于y=x对称，那么这两个函数互为反函数。这也可以看做是反函数的一个几何定义。
在微积分里，f(n)(x)是用来指f的n次微分的。
若一函数有反函数，此函数便称为可逆的（invertible）。[1]
存在性
概述
一函数f若要是一明确的反函数，它必须是一双射函数，即：
（单射）陪域上的每一元素都必须只被f映射到一次：不然其反函数将必须将元素映射到超过一个的值上去。
（满射）陪域上的每一元素都必须被f映射到：不然将没有办法对某些元素定义f的反函数。
若f为一实变函数，则若f有一明确反函数，它必通过水平线测试，即一放在f图上的水平线必对所有实数k，通过且只通过一次。[1]
反函数存在定理
定理：严格单调函数必定有严格单调的反函数，并且二者单调性相同。
在证明这个定理之前先介绍函数的严格单调性。
设y=f(x)的定义域为D，值域为f(D)。如果对D中任意两点x1和x2，当x1 y2，则称y=f(x)在D上严格单调递减。
证明：设f在D上严格单增，对任一y∈f(D)，有x∈D使f(x)=y。
而由于f的严格单增性，对D中任一x'<x，都有y'<y；任一x''>x，都有y''>y。总之能使f(x)=y的x只有一个，根据反函数的定义，f存在反函数f-1。
任取f(D)中的两点y1和y2，设y1<y2。而因为f存在反函数f-1，所以有x1=f-1(y1)，x2=f-1(y2)，且x1、x2∈D。
若此时x1≥x2，根据f的严格单增性，有y1≥y2，这和我们假设的y1<y2矛盾。
因此x1<x2，即当y1<y2时，有f-1(y1)<f-1(y2)。这就证明了反函数f-1也是严格单增的。
如果f在D上严格单减，证明类似。[1]
性质
（1）函数f(x)与它的反函数f-1(x)图象关于直线y=x对称；
函数及其反函数的图形关于直线y=x对称
（2）函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；
（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；
（4）大部分偶函数不存在反函数（当函数y=f(x)， 定义域是{0} 且 f(x)=C （其中C是常数），则函数f(x)是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0} ）。奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。
（5）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；
（6）严增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数；
（7）反函数是相互的且具有唯一性；
（8）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）；
（9）反函数的导数关系：如果x=f(y)在开区间I上严格单调，可导，且f'(y)≠0，那么它的反函数y=f-1(x)在区间S={x|x=f(y),y∈I }内也可导，且：
是不是只有严格单调的函数才有反函数呢?
不是单调函数才有反函数，单调函数是反函数的充分条件。例如y=1\/x，在定义域内不是单调函数，但是有反函数。有的不连续函数，也有反函数.
是不是只有单调函数才有反函数?
是不是只有单调函数才有反函数？1、反证法：因为一个非单调函数，必有两个不同的x对应同一个y值，那么如果存在反函数，则反函数中两个不同的y对应同一个x值，就是同一个x有两个函数值，而这不是函数。所以非单调函数没有反函数。所以只有单调函数才有反函数。2、一个Y对应唯一X的分段函数可以...
什么是严格单调函数和单调函数有什么区别
1、含义不同 严格单调函数就是不能包含端点。单调函数是指， 对于整个定义域而言，函数具有单调性。而不是针对定义域的子区间而言。2、定义域不同 严格单调函数其定义域的两端只能是＞号或者＜号，而单调函数在端点处则可取等号，比如一个开口向下的二次函数在对称轴的左边单增右边单减，但是在对称轴...
数学函数极限中,求x趋向无穷时的极限,函数必须是单调的么?
估计你产生这个疑问，应该受数列中的单调有界必收敛影响。实际上数列单调有界必收敛，但收敛不一定单调有界。另外，这个x趋向无穷时的极限，就是x趋于无穷（含正负无穷）时，函数在某个数值附近震荡，且震荡的幅度随着x的绝对值变大而变小。那么这个数就称为还函数在x趋于无穷时的极限。典型例子：(sinx)...
哪些函数是单调函数,哪些函数不是单调函数?
1、一次函数为单调函数。一次函数是函数中的一种，一般形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0），其中x是自变量，y是因变量。特别地，当b=0时，y=kx（k为常数，k≠0），y叫做x的正比例函数（direct proportion function）。2、正弦函数不是单调函数。正弦（sine），数学术语，在直角三角形中，任意一...
函数不单调是什么意思?
虽然函数不单调可能会增加函数的计算复杂度，但有时也会带来意外的好处。例如，如果你需要生成随机数，那么非单调函数可能更适合用作随机函数的参数。这是由于非单调函数更难以被预测，因此更有可能生成真正的随机数。因此，我们应该根据具体的应用场景来选择合适的函数，而不是一味追求单调性。
是不是所有的函数都有单调区间
如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1f(x2).那么就是f(x)在这个区间上是减函数.⒉ 单调性与单调区间 若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,则就说函数在这一区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做函数的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.在单调区间上...
导数连续的函数一定是单调的吗?
但是如果这个点周围的导数有正有负，积分出来的值，有可能左边小区间正右边是负，左边是正右边也是正等等，这样原函数值在这个小区间到底怎样变化，仅凭单个点的导数值就难以判断了。产生这种疑惑是很自然的，可能是对导数还没有清晰的理解。导数不一定要求就必须连续。不连续的导数很容易产生不符合单调...
若f(x)的导函数是单调函数,则f(x)必是单调函数,为什么错?
由已知可得f(x)'为单调递增函数 则设 X1-X2大于0 则有f(X1)'-f(X2)'大于0 令f(X1)'-f(X2)'=C（C为常数且C大于0） 对f(X1)'-f(X2)'=C进行积分 左侧为f(X1)-f(X2)+a（a为常数）= 右侧为CX+d （d为常数）合并常数项（由于d-a仍为常数）所以可化简为f(X1)-f(X...
如何判断函数是有界函数还是无界函数和函数是否是单调函数
1、在定义域内对函数进行求导：若导函数恒≥0或者恒≤0则函数是单调函数。2、f(x)的定义域是D，数集X是D的子集。如果存在正数M使得 f(x)的绝对值小于等于M对任一x属于X都成立，就称f(x)在X上有界。如果这样的M不存在，那么就称无界。利用函数单调性可以解决很多与函数相关的问题。通过对函数...
包聪小芯： 当然是错的,比如反比例函数,显然有反函数,而且是它本身,但是它是在每个区间单调,不能说直接说它是单调函数
岳西县18542281267： 反函数一定是单调函数吗? - ？
包聪小芯：[答案] 不一定. 如分段函数f(x)={x,x≤0;-x+1,0它的反函数f-1(x)={x,x≤0;-x+1,0题外话,单调函数是存在反函数的充分条件,不是必要条件.
岳西县18542281267： 如果一个函数有反函数,它一定是单调函数吗 - ？
包聪小芯：[答案] 是的 因为函数的定义是一个自变量对应一个函数值(即一个X对应一个Y) 函数的反函数也是函数 也得满足函数的定义 所以如果它不是单调函数的话(一个Y对应多个X) 反函数后就会出现一个自变量对应多个函数值的情况(一个X对应多个Y) 不...
岳西县18542281267： 有反函数的函数一定是单调函数吗? - ？
包聪小芯： 是的,某函数存在反函数的充要条件是它在其定义域上是单调的. 这是因为如果对一个非单调函数求反函数,对于每一个确定的函数值y,将有多于一个x值与之对应,不符合函数定义,因此非单调函数没有反函数,而有反函数的函数一定是单调的.
岳西县18542281267： 反函数一定是单调函数吗 为什么存在反函数的函数一定是单调函数吗 为什么 - ？
包聪小芯：[答案] 不一定 有反函数的充要条件是要一一对应 如f(x)=-1/x在(-∞,0)∪(0,+∞)上存在反函数,但它在(-∞,0)∪(0,+∞)上并不单调 还有像f(x)定义在集合{-1,0,1}上,满足f(-1)=0,f(0)=1,f(1)=-1,它也不单调,但有反函数 单调函数一定有反函数,但有反函数的函...
岳西县18542281267： 是不是只有单调函数才有反函数 - ？
包聪小芯：[答案] 不是的,单调函数是反函数的充分条件,y=1/x,在全非零实数范围内,不是单调函数,但是有反函数.大学你会知道可逆函数是反函数的充要条件.
岳西县18542281267： 是不是只有严格单调的函数才有反函数呢? - ？
包聪小芯：[答案] 不是单调函数才有反函数,单调函数是反函数的充分条件.例如y=1/x,在定义域内不是单调函数,但是有反函数.有的不连续函数,也有反函数.
岳西县18542281267： 判断题:存在反函数的函数一定是单调函数存在反函数的函数一定是单调函数,这句话对吗?请给出理由~ - ？
包聪小芯：[答案] 不对 比如说,我们举个例子 f(x)=x(0
岳西县18542281267： 只有单调函数才有反函数吗 - ？
包聪小芯：[答案] 是的.若不是单调函数,必有两个或以上个不同的X值对应同一个Y值.比如f(x)=x^2,f(2)=4,f(-2)=4.那么到反函数的时候就有一个Y值对应多个X值.这就与函数的定义唯一对应矛盾.
岳西县18542281267： 请问“存在反函数的函数都是单调函数”这句话对吗?还是所有函数都存在反函数? - ？
包聪小芯：[答案] 存在反函数的函数都是单调函数 不对 单调函数是存在反函数的函数 存在反函数只能说明是一一映射函数 而单调函数满足一一映射条件 相信我 我读高中时向老师求证过
