怎么解一元四次方程 x^4-8x^3+17x^2=20 要这个方程的解
作者&投稿：并庆 （若有异议请与网页底部的电邮联系）
一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到,即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式.归纳出来的形如 x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A^(1/3)+B^(1/3)型,即为两个开立方之和.归纳出了一元三次方程求根公式的形式,下一步的工作就是求出开立方里面的内容,也就是用p和q表示A和B.方法如下：
（1）将x=A^(1/3)+B^(1/3)两边同时立方可以得到
（2）x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3))
（3）由于x=A^(1/3)+B^(1/3),所以（2）可化为
x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x,移项可得
（4）x^3－3(AB)^(1/3)x－(A+B)＝0,和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比较,可知
（5）－3(AB）^（1/3）＝p,－(A+B)=q,化简得
（6）A+B＝－q,AB＝-（p/3）^3
（7）这样其实就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问题,因为A和B可以看作是一元二次方程的两个根,而(6)则是关于形如ay^2+by+c=0的一元二次方程两个根的韦达定理,即
（8）y1＋y2＝－（b/a）,y1*y2=c/a
(9)对比（6）和（8）,可令A＝y1,B＝y2,q＝b/a,-（p/3）^3＝c/a
(10)由于型为ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式为
y1＝－（b＋（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)
y2＝－（b－（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)
可化为
(11)y1＝－(b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)
y2＝－(b/2a)+((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)
将(9)中的A＝y1,B＝y2,q＝b/a,-（p/3）^3＝c/a代入（11）可得
(12)A＝－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)
B＝－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)
(13)将A,B代入x=A^(1/3)+B^(1/3)得
(14)x=（－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)+（－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)
式 (14)只是一元三方程的一个实根解,按韦达定理一元三次方程应该有三个根,不过按韦达定理一元三次方程只要求出了其中一个根,另两个根就容易求出了.
x^y就是x的y次方
好复杂的说
塔塔利亚发现的一元三次方程的解法
一元三次方程的一般形式是
x3+sx2+tx+u=0
如果作一个横坐标平移y=x+s/3,那么我们就可以把方程的二次项消
去.所以我们只要考虑形如
x3=px+q
的三次方程.
假设方程的解x可以写成x=a-b的形式,这里a和b是待定的参数.
代入方程,我们就有
a3-3a2b+3ab2-b3=p(a-b)+q
整理得到
a3-b3 =(a-b)(p+3ab)+q
由二次方程理论可知,一定可以适当选取a和b,使得在x=a-b的同时,
3ab+p=0.这样上式就成为
a3-b3=q
两边各乘以27a3,就得到
27a6-27a3b3=27qa3
由p=-3ab可知
27a6 + p3 = 27qa3
这是一个关于a3的二次方程,所以可以解得a.进而可解出b和根x.
费拉里发现的一元四次方程的解法
和三次方程中的做法一样,可以用一个坐标平移来消去四次方程
一般形式中的三次项.所以只要考虑下面形式的一元四次方程：
x4=px2+qx+r
关键在于要利用参数把等式的两边配成完全平方形式.考虑一个参数
a,我们有
(x2+a)2 = (p+2a)x2+qx+r+a2
等式右边是完全平方式当且仅当它的判别式为0,即
q2 = 4(p+2a)(r+a2)
这是一个关于a的三次方程,利用上面一元三次方程的解法,我们可以
解出参数a.这样原方程两边都是完全平方式,开方后就是一个关于x
的一元二次方程,于是就可以解出原方程的根x.
汲发胃乐：[答案] x^4-8x^3+16x^2+16x^2-64=0 (x^2-4)^2+16(x^2-4)=0 令y=x^2-4 则y^2+16y=0 y=0或y=-16 当y=-16时,x无解 当y=0时,x=±2
乌审旗19668494868： 简单的一元四次方程求解0.5X^4 - 8X^3+42X^2 - 96X+72=01楼貌似有问题. - ？
汲发胃乐：[答案] 原方程化简得(x-4)^4=8(x-4)^2+4x^2得8
乌审旗19668494868： 一元四次方程 - ？
汲发胃乐： 分解因式 x^4-8x^3+16x^2-32x+48=x^4-8x^3+12x^2+4x^2-32x+48=x^2(x^2-8x+12)+4(x^2-8x+12)=(x^2+4)(x^2-8x+12)=(x^2+4)(x-2)(x-6) 实数范围内,方程有两个实根 x1=2,x2=6 如果学了复数,还有两个根!
乌审旗19668494868： 一元四次方程求解4X^4 - 8X^3 - (121/4)X^2+32X+64=0 - ？
汲发胃乐：[答案] 两端乘以 4 后分解得 (4x^2-x-16)(4x^2-7x-16)=0 , 用公式法可得原方程的根为 x1=(1-√257)/8 ,x2=(1+√257)/8 ,x3=(7-√305)/8 ,x4=(7+√305)/8 .
乌审旗19668494868： 简单的一元四次方程求解 - ？
汲发胃乐： 原方程化简得(x-4)^4=8(x-4)^2+4x^2得8<9,具体值用计算机求
乌审旗19668494868： 解方程x^4 - 8x^3+20x^2 - 15x=0 - ？
汲发胃乐： 注意系数的特点1,-8,9,-8,1,倒过来也是一样,首项x≠0,否则1=0,.两边同除以x^2,得到x^2-8x+9-8/x+1/x^2=0(x+1/x)^2-2-8(x+1/x)+9=0(x+1/x)^2-8(x+1/x)+7=0[(x+1/x)-1][(x+1/x)-7]=0(x+1/x)-1=0,(x+1/x)-7=0x+1/x-1=0,x+1/x-7=0x^2-x+1=0, x^2-7x+1=0,前面一个方程无实根(因为(-1)^2-*1*1<0)后面一个方程的解(利用求根公式)x=(7±3√5)/2所以方程的实数解为 x1=(7+3√5)/2,x2=(7-3√5)/2
乌审旗19668494868： 求解一个简单的一元四次方程x^4+8x^3+20x^2+17x+4=0 只要答案,有过程更好我才初三,不会解 - ？
汲发胃乐：[答案] x^4+8x^3+20x^2+17x+4=0 x^4+8x^3+16x^2+4x^2+17x+4=0 x²(x²+8x+16)+(4x+1)(x+4)=0 x²(x+4)²+(4x+1)(x+4)=0 (x³+4x²+4x+1)(x+4)=0 [(x³+1)+4x(x+1)](x+4)=0 (x+4)(x+1)(x²-x+1+4x)=0 (x+1)(x+4)(x²+3x+1)=0 x1=-1 x2=-4 X²+3X+1=0 b²-4...
乌审旗19668494868： x(x - 4)=2 - 8x用公式法解 - ？
汲发胃乐： 原式 X(X-4)=2-8X 化为一般形式(一般形式就是aX~2+bX+c=0) (一步一步来) X~2-4X=2-8X X~2+4X-2=0 再用公式 公式法的公式,就是把一元二次方程的一般形式,通过配方法,解出的根 公式就是 X=-b(+ -)根号下b~2-4ac/2a (b~2-4ac)都在根号下 (+ -) 是指正负,也就是加减 现在套用 解题基本格式如下 a=1 b=4 c=-2 b~2-4ac=4~2-4(-2)=24>0 X=-b(+ -)根号下b~2-4ac/2a= -4 (+ -)根号下24/2 X=-2(+ -)根号6 X1=-2+根号6 X2=-2-根号6
乌审旗19668494868： 求解一道一元四次方程.. - ？
汲发胃乐： 恩,一般在我所学的范围内,解高次方程技巧就是分解因式了,首先约去一个2得到 8x^4...
乌审旗19668494868： 一元四次方程求解~~~~~~~~~~~~~x^4+4x^3+8x^2+8x+4=0 - ？
汲发胃乐： x²(x²+4x+4)+4x²+8x+4=0 x²(x+2)²+4(x+2)²=0 (x²+4)(x+2)²=0 解得x₁=x₂=-2,x₃=2i,x₄=-2i
