群同态三大基本定理
一、群同态基本定理
首先介绍群同态的核和像的概念：
定义1 设φ是群G到群G̅的群同态，G̅的单位元在φ下的所有原象作成的集合，称为φ的核，记为Kerφ。 群G的所有元素在φ下的像作成的集合，称为φ的像集，记作Imφ ,或φ(G).
定理2(群同态基本定理) 设φ是群G到群G̅的一个满同态. 则 N=Kerφ⊴G, 且 G⁄N≅G̅。
若φ只是一个同态，则上述定理可以改写为：G⁄Kerφ≅Imφ
定理3 设G和G̅是两个群且G~G̅。若G是循环群，则G̅也是循环群。即循环群的同态像也是循环群。
近世代数中平凡理想与非平凡理想的区别
令f是R到R\/I的自然环同态，则kerf=I，根据环同态基本定理，所以R的包含I的理想和R\/I的理想一一对应。1）充分性：因为I是R的最大理想，所以R包含I的理想只有R和I本身，从而商环R\/I的理想只有I和R\/I本身，换句话说，R\/I只有平凡理想。因为R是有单位元的交换环，所以R\/I也是有单位元的交换环...
【抽象代数】2. 子群、陪集与Lagrange定理,群同态与群同构
陪集是群中等价关系下的基本构造，如左陪集和右陪集，它们反映了群元素在群结构中的分布。Lagrange定理指出，群的子群个数（指数）必整除群的阶数，这对于理解群的元素结构和阶数关系非常重要。群同态是两个群之间结构相似的映射，它可以是单射、满射或双射（即同构），后者意味着两个群在结构上是完全...
环的同态映射的定义
环同态还可以具有其他性质，如可逆性、单射性和满射性，这些性质与环同态的结构和映射关系有关。3.应用和拓展知识 应用是环的同态映射在数学领域中具有重要的应用，例如在代数学中的同态映射可以用于研究环同构和同态基本定理等问题。环的同态映射的概念可以进一步扩展到群同态、模同态和域同态等概念，它们...
“抽象”代数应该考什么?——出自《尔雅通识课·数学大观》
掌握子群陪集的概念及性质,熟练掌握Lagrange定理及及其推论1、推论2、例5、例6,熟练掌握习题2、3、 4、5;掌握正规子群的定义及等价命题定理2.40, 能够正确判定子群与正规子群, 掌握例1、例2、例4、例6、例7的结论及习题2、3、6,正确掌握商群的概念及性质(推论);掌握并正确使用同态基本定理,熟练掌握复习题二中...
商群性质
商群的一些关键性质在同态基本定理和同构基本定理中有详细的描述。例如，如果 G 是阿贝尔群、幂零群或可解群，那么商群 G \/ N 也会保持这些属性。如果 G 是循环群或有限生成群，那么 G \/ N 也同样如此。如果 N 在 G 的中心内，G 称为 G \/ N 的中心扩张。当子群 H 在有限群 G 中且 H ...
如何研究关于群的定理?
理解群的基本概念：在深入研究群的定理之前，需要对群的定义有一个清晰的理解。群是一种代数结构，包含一个集合和一个满足四个条件（封闭性、结合律、单位元的存在以及逆元的存在）的二元运算。熟悉这些基本概念是进行进一步研究的基础。学习群的性质：了解群的各种性质，如交换律、子群、正规子群、同态...
群论的基本概念
不变子群同态定理指出，若存在同态映射f:G→G′，则核心集合H是不变子群，且商群G\/H与群G′同构。凯利定理指出，任意n阶群同构于子群Sn。直积群则表示由更小群相乘得到的群结构。总结，群论提供了一种系统描述对称性的数学工具，其基本概念包括群、阿贝尔群、有限群阶、循环群、子群、共轭集、陪集...
几何群论-I 课程笔记 - 2:基本群与覆叠空间
例2.9 ， 。定理2.10 设为拓扑空间， 和 为两个点， 为 到 的一条路径，则有同构 ： 。由此可见基本群定义中的基准点不重要，于是直接记作 。定义单连通空间为道路联通的空间 ，如果 。定理2.11 设有三个拓扑空间 ， 和 ，有连续映射 ， ，设 ， ， ，则有 。例2....
群论基本概念总结
定理1 (重排定理): 排列复合给出所有元素的唯一排列。定义11 (群同构): 两个群间存在双射且运算保持一致，称它们同构。定义12 (群同态): 运算保持一致但非一一对应，称其为群同态。例子9-12: 展示群同构与同态的实例。定义13 (直积): 两个群在运算上的结合构成新的群。性质: 直积群的性质，...
群论对于理论物理重要到什么程度
定义并讨论了正规子群与商群的概念与性质.从而达到了解群论的基础知识以及有限群的表示理论,不变子空间与可约表示、shur 引理、正交理论.借助于商群的概念证明了群同态基本定理, 从而对群的同态象作出了系统的描述.这部分内容是群论中最基本的内容,是任何一个希望学习群论的读者所必须掌握的,矩阵的秩与...
住胞帮君： 群的同态与同构都是研究群与群之间关系的重要手段.同构映射是群之间保持运算的映射,存在同构映射的两个群可以看成同一个群,因为它们有相同的群结构.代数中最基本与最重要的课题就是搞清楚各种代数体系在同构意义下的分类. 而同...
嫩江县17142121635： 近世代数证明题一般出哪一章的,循环群?变换群?置换群?正规子群?群同态基本定理?理想? - ？
住胞帮君：[答案] 群在集合上的作用,Sylow定理.
嫩江县17142121635： 群论和群理论有区别吗?群论的主要内容是什么?群论主要研究哪些方面的问题? - ？
住胞帮君：[答案] 我们知道群论是数学的一个重要分支,它在很多学科都有重要的应用,例如在物理中的应用,群论是量子力学的基础.本课程的目的是为了使学生对群论的基本理论有感性的认识和理性的了解.本课程介绍群论的基本理论及某些应用. 主要内容有:首先...
嫩江县17142121635： Z是整数加群,用群的同态基本定理证明群同构2Z/6Z和Z/3Z - ？
住胞帮君：[答案] (楼上σ定义不够直接,不如改用Z映射到2Z/6Z) 定义映射f:Z->2Z/6Z使得f(a)=2a+6Z,则: (1)f是群的同态:f(a+b)=2(a+b)+6Z=2a+2b+6Z=f(a)+f(b),f(-a)=-2a+6Z=-f(a); (2)f是满射:显然; (3)ker(f)={a|2a属于6Z}={a|6整除2a}={a|3整除a}...
嫩江县17142121635： 有关抽象代数中群的同态基本定理的一些疑问? - ？
住胞帮君： kerPi的意思是“映射Pi的'核'”.这里与线性代数中线性映射的“核”的概念差不多,都是“在Pi映射下像是运算单位元(线性代数中的运算是加法,所以单位元是0;抽代里是e)的全部原象的集合”.H/H=e(只有加法单位元的平凡子群),当然H就是Kernel了.至于后一个,ker f=H∩K.f的定义域是K,H是Pi的kernel,Pi的定义域是G,你不能保证H是K或者K的子群,所以当然是ker f=H∩K.这个是很自然的.
嫩江县17142121635： 两个可解正规子群的乘积仍然是可解正规子群 - ？
住胞帮君： 由M在G中正规, 可知M也在MN中正规. 由群同态基本定理, MN/M同构于N/(N∩M). 而N可解, 故N/(N∩M)也可解, 进而MN/M可解. 又M可解, 故MN也可解.其中用到: 若N是G的正规子群, 则G可解的充要条件是N和G/N均可解.
嫩江县17142121635： 子群的陪集在近世代数中的引言是什么? - ？
住胞帮君： 引言: 近世代数的研究对象是代数系统.三个最基本的代数系统是群,环,域.其中群是最简单的代数系统,因为它在一个集合中只定义了一种代数运算.正由于在群中只定义了一种代数运算,也就决定了群中元素之间的联系不甚紧密.群内的子群反...
嫩江县17142121635： 确定三次对称群的同态像是什么 - ？
住胞帮君： 简单说一下思路:唯一性:显见,a=f(1,0,0),b=f(1,1,0)/2,c=f(1,1,1).故其唯一.充分性:由Schur定理,g3,1>=0,g3,2>=0;所以,a,b,c>=0时,则f>=0;必要性:由于a,b,c分别可表示为第二行的式了,而f>=0,所以,a,b,c>=0证毕.
嫩江县17142121635： 教学目标是什么正规子群的作用?正规子群的作用,教学目标是什么 ？
住胞帮君： 设G是一个群 , 且有子群 H. 若H的左陪集与右陪集 总是相等, 则称H是G的正规子群.正规子群又称不变子群.任何群同态σ:G→G' 的核Ker σ 都是G的正规子群. (同态基本定理) 商群G/Ker σ≌Im σ. 利用群同态的核构造正规子群是一种常用方法.
嫩江县17142121635： 关于核(近世代数,高等代数) - ？
住胞帮君： 个人感想,仅供参考. 向量空间, 环 等关于加法都构成 abel 群, 所以我想这里可以都理解为群同态的核吧? 即, 单位元的原像.如果您是对 核(kernel) 的一般定义感兴趣, 可以参考英文 wikipedia 词条 Kernel (category theory)
