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数理逻辑史简析,2010.12.16,直觉主义逻辑,主要内容,数学背景-莱布尼茨-第三次数学危机,三大学派-逻辑主义-直觉主义-形式主义,哲学背景-柏拉图主义-康德的哲学,中国的哲学与数学-周公问数-密率、徽率-算经十书-太极,思考,数的本质是什么？思想有什么样的作用？西方世界在第三次数学危机后如何产生了计算机理论？中国哲学有什么样的作用？直觉主义（构造主义）逻辑有什么样的作用？,数学背景:思想的启蒙,数理逻辑:一切用特制符号和数学方法来研究处理演绎方法的理论,也被称为符号逻辑,Hobbes(1588-1679,英国),Aristotle(前384-前322,希腊),符号逻辑这个名词是在数理逻辑发展的初期19世纪80年代提出的(1881年英国逻辑学家文恩J.Venn),形式逻辑自亚里士多德起到17世纪后期已有2000余年的历史,英国的唯物主义哲学家霍布士1655年就曾提出过这样的思想.他说,推理好像算术中的加法和减法一样,思维是可以计算的,数学背景:数理逻辑的创立,德国唯理论哲学家和数学家莱布尼茨(1646-1716)被认为是数理逻辑的创始人,Leibniz(1588-1679,德国),思维的演算:遇到争论,双方可以把笔拿在手中说:“让我们来算一下”,就可以把问题解决,表意的符号语言和思维的演算是莱氏提出的重要思想,这二者也正是现代数理逻辑的特征,数学背景:数理逻辑的发展,第一阶段:用数学方法研究和处理形式逻辑从17世纪70年代的莱布尼茨到19世纪末叶的布尔,德摩根,施履德等共延续了约二百年,其成果是逻辑代数和关系逻辑,第二阶段:研究数学思想方法和数学基础问题19世纪中叶起,康托尔,希尔伯特,弗雷格,皮亚诺,罗素,布劳维尔等人奠定了它的理论基础,创建了特有的新方法,成长为一门新学科.其成果是集合论,公理化方法,逻辑演算,证明论,第三阶段:研究逻辑系统的完全性,协调性,计算机理论等1931年哥德尔发表不完备性定理至今.本阶段数理逻辑的主要内容大致可以分为五个方面:逻辑演算,证明论,公理集合论,递归论,模型论,数学背景:集合论(1870s),集合论是关于无穷集合和超穷数的数学理论.数学里遇到的无穷有:无穷过程,无穷小和无穷大.必须能作数学的处理,能进行运算,这样的无穷才能算作数学的对象,Cantor(1845-1918,德国),对无穷集合来说,如果把一一对应作为是否相等的标准,则一个无穷集就会和它自己的真部分相等.这是和有穷领域里人们的常识以及数学知识“全体大于部分”相矛盾的.如果以“和真部分一一对应”为悖论,就必须否认实无穷,数学背景:第三次数学危机,1900年在巴黎召开的第二次国际数学会议上,庞加莱宣称:“数学的严格性到今天可以说已经达到了”,因为利用集合论可以定义自然数与实数,从而建立极限论,为数学分析奠定了基础,Russell(1872-1970,英国),罗素(1872-1970),英国著名的哲学家,数学家和社会改革家在会上结识了皮亚诺并得到很大的启发.两年后,罗素准备数学原理的书稿时,发现一个悖论:不以自己为元素的集合.它是不是自己的元素？,数学背景:第三次数学危机,1902年6月,他给致力于把算术化归于集合和逻辑的弗雷格写了一封信,叙述了他发现的悖论.在集合论中存在着大漏洞.把集合论作为算术的基础,整个数学的基础,这一想法遭到严重的打击弗雷格迅速给罗素回了信.他说:“哎呀!算术动摇了.”弗雷格后来甚至于放弃了他的从逻辑导出数学的说法狄德金闻讯后,把他的什么是数的再版推迟罗素则直到1908年找到解决悖论的类型论后,才出版他的数学原理,数学背景:悖论,悖论是一种认识矛盾,它既包括逻辑矛盾,语义矛盾,也包括思想方法上的矛盾.数学悖论作为悖论的一种,主要发生在数学研究中古希腊说谎者悖论,阿基里斯追龟悖论战国时期逻辑学家惠施（约370B.C.-318B.C.）的“日方中方睨,物方生方死”,“一尺之棰,日取其半,万世不竭”,莫比乌斯带,哲学背景:柏拉图主义,柏拉图(公元前427-前347年)是有很大影响的古希腊唯心主义哲学家,Plato(前427前347年,希腊),数学结论的客观性,一个方程有多少根,有哪几个根,是客观的,柏拉图主义:数学研究的对象尽管是抽象的,但是却是客观存在的.而且它们是不依赖于时间,空间和人的思维而永恒存在的.数学家提出的概念不是创造,而是对这种客观存在的描述,哲学背景:康德(德国古典哲学),数是思维创造的抽象实体,Kant(1724-1804,德国),康德把人的先天认识能力分为感性,知性和理性三种.感性是掌握数学知识的能力,知性是掌握物理学知识的能力,理性企图超越现象世界去认识“什么自在之物”,结果什么也得不到,康德认为人的先天感性直观形式有两种:时间和空间.用先天的时间观念整理关于事物的多与少的经验,便创造了数的概念.用先天的空间概念整理关于事物的形状的经验,便创造出了几何公理,三大学派,在1900年后几年内,数学基础问题的讨论和争议已经展开.当时主要的问题为:(1)如何解决已发现的悖论和如何进一步保证在公理系统中不出现任何形式的自相矛盾？(2)如何理解“数学的存在”？(3)有没有实无穷和如何认识实无穷？(4)数学的基础是什么？,逻辑主义:算术是逻辑的一部分,逻辑主义的主要人物是罗素和弗雷格都是柏拉图主义的支持者,Frege(1848-1925,德国),自然数是客观存在的.在逻辑的基础上建立算术,进而建立整个数学,以证明数学是逻辑学的一个分支,弗雷格的工作,由于罗素悖论的出现而受到挫折.罗素和怀海德从头重新做起,建立了庞大的结构,总算实现了把算术还原为逻辑,或者说,还原为集合论.但为了使自己的层次理论不太复杂,罗素最后提出了一个“可化归公理”.这样,就不是完全在逻辑上建立算术了,直觉主义:数学概念是自主的智力活动,人具有先天的直觉能力,能肯定这样能一个一个地把自然数构造出来.因此,数学对象是人靠智力活动构造出来的,Brouwer(18811966,荷兰),布劳维尔认为不能考虑自然数总体.因为直觉可以不能想象构造出全体自然数的过程,因为那需要无穷的时间,直觉主义认为,数学的对象,必须能像自然数那样明显地用有限步骤构造出来,才可以认为是存在的.全体自然数,全体实数,统统无法考虑,因为构造不出来.因此,他们主张一种“构造性数学”.于是,直觉主义也被叫做构造主义,直觉主义,这种否定实无穷的观点,最早可以追溯到亚里士多德.在数学家当中,康托尔的老师柯朗尼克也反对无穷集的观点,主张数学研究的对象一定要能够在有限步骤之内构造出来.构造不出来的就不存在直觉主义逻辑否定了“排中律”,“反证法”布劳维尔在自己观点的指导下开始了庞大的工程.他建立了构造性的数学:构造性实数,构造性集合论,构造性微积分在计算机出现后,构造性数学有了大用场.因为计算机只处理可构造出来的具体符号串.直觉主义派不但没使数学受到损害,反而用构造性数学使这一领域大大丰富了我国著名数学家吴文俊教授指出,中国古代数学是构造性数学.在每个问题中都力求给出构造性的解答.他还指出:由于计算机技术的发展,构造性数学将出现大发展,甚至成为数学的主流,形式主义:把数学化为关于有限符号排列的操作,形式主义是一种唯心主义的形而上学观点,Hilbert(18621943,德国),形式主义是支持柏拉图主义的.目的是通过形式化为柏拉图主义数学建立稳固可靠的基础.形式主义者主张使用符号推演代替语言,而符号的使用方法要靠约定的规则,希尔伯特建立了元数学-形式系统的数学两大目标:形式数学系统的完全性,协调性如果能推出所有的真命题,就说这个系统是完全的如果推不出矛盾,就说这个形式系统是协调的,哥德尔不完备定理,遗憾的是,在1931年哥德尔不完备定理说明了希尔伯特的构想是不可能实现的,哥德尔和王浩(左哥德尔),青年数学家哥德尔在1931年发表了一条定理:在包含了自然数的任一形式系统中,一定有这样的命题,它是真的,但不能被证明(系统协调),长期以来,数学家和哲学家总觉得,数学的真理总是可以证明的.哥德尔定理表明,“真”与“可证”是两回事,争论的结果:计算机理论的产生,对数的本质的研究,对数学对象本质的研究,促进了数学基础和数学哲学的大发展.但是对“什么是数？”“数学的真理意味着什么？”这样的问题,依然没有一致的回答不同观点的数学家,沿着自己选定的道路前进,发现大家不约而同地到达同一个地方:数学研究的对象是一些关系与形式,这些关系与形式可以用有限符号来表达,它又能包含着无限丰富的内容数学的研究对象是抽象的形式与关系各派最后都导致对“算法”的研究,在此研究基础上出现了计算机理论,早期计算机雏形,左图为二战德军使用的Enigma右图为2008年BletchleyPark博物馆复制的“图灵炸弹”,原机二战后秘密销毁,中国的哲学与数学,公元前1046年,武王伐商,建立了周朝.武王驾崩后,儿子姬诵年幼,便由叔叔姬旦(史称周公)辅佐执政窃闻乎大夫善数也,请问古者包牺立周天历度.夫天不可阶而生,地不可得尺寸而度,请问数安从出?(圆和方)故折矩,以为勾广三,股修四,径隅五禹治洪水,决流江河.望山川之形,定高下之势,除滔天之灾,释昏垫之厄,使东注于海而无浸逆.乃勾股之所由生(赵爽周髀算经注)古时认为数出自“两仪”,即阴阳之类,表述事物的两面性,如正与反古希腊毕达哥拉斯在商高六百年后才发现勾股定理,周公问数,大禹治水,中国的哲学与数学,九章算术成书约在东汉初期(约公元1世纪),作为教材在民间流传.魏晋时期的刘徽在魏陈留王景元四年(公元263年)完成了九章算术注在推求圆周率的过程中,刘徽巧妙地导出一个普遍公式,从正六边形一直推求至九十六边形,得到圆周率在3.14附近(徽率,阿基米德数)在弓形面积的计算中,刘徽又一次运用了极限思想,用“割弧术”进行面积逼近.“割之又割,使至极细”,刘徽(生于公元250年左右),中国哲学与数学,隋书记述了祖冲之的圆周率值,准确至小数点后七位;提出一个具有世界水平的密率值355/113.这个准确至小数点后七位的数刘徽的割圆术,就必须计算出圆内接正24576边形的面积直到一千年后,才有阿拉伯数学家阿尔卡西打破祖冲之的记录例如直径10公里,用密率算出的圆周只比真值大不到3毫米,祖冲之公元429年公元500年,中国哲学与数学,唐朝:算经十书,王孝通的缉古算经需要学三年(三次方程代数解法)宋朝:沈括梦溪笔谈,秦九韶“大衍求一术”元朝:阿拉伯数字,朱世杰“三次内插公式”四元玉鉴1980年,梁宗巨(1942-1995年)在世界数学史简编中说:“自古以来,我国就是一个数学的先进国家,但是朱世杰之后,我国数学突然出现中断的现象,从朱世杰后的三个世纪,没有重要的创作.”,沈括,秦九韶,再谈哥德尔不完备定理,根岑(1936),阿克曼(1940),诺维科夫(1943),洛伦岑(1951),许特(1951),卡罗多夫斯基(1959),史坦尼斯(1952),竹内外史(1953)都得到一个结论:算术系统自身的协调性不能在自身系统中证明括微积分,几何的整个数学的协调性,是逐步化归到越来越小的系统的协调性的.到了算术系统,小得不能再小了,再想证明协调性,就反而要把系统扩大了这是一种什么现象？,中西方计算工具,图片依次为:算筹,汉代琉璃算筹,古算盘,皮纳尔算筹(1617),帕斯卡加法器(1641),莱布尼茨乘法器(1701,传教士鲍威特,二进制,八卦的爻),布尔巴基学派,毕达哥拉斯做了第一次尝试,希望把数学统一于自然数.这次尝试由于无理数的发现而以失败告终.以后相当长时间里,希望把数学统一于欧几里得几何.最后发现,连几何也是不统一的,这种希望破灭了莱布尼茨,弗雷格和罗素,希望把数学统一于逻辑,使庞大的,复杂的数学归结为非常通俗的,直观的,易于洞察的逻辑.其结果呢？导出了极不通俗,极为复杂而令人难于洞察的层次理论与可化归公理直觉主义派的布劳维尔和形式主义的希尔伯特,又希望数学统一于算术.结果,哥德尔定理的推论说明连算术也不是统一的法国布尔巴基学派最初的成员是巴黎师范学院的一群大学生.在40多年间,他们计划完成一部百科全书式的数学巨著数学原理,对全部现代数学作彻底的探讨与证明,数学的研究对象是抽象的形式与关系,中国哲学与数学,太极:其大无外,其小无内有物混成,先天地生.寂兮寥兮,独立而不改,周行而不殆,可以为天下母.吾不知其名,字之曰道,强为之名曰大,回答,数的本质是什么？思想有什么样的作用？西方世界在第三次数学危机后如何产生了计算机理论？中国哲学有什么样的作用？直觉主义（构造主义）逻辑有什么样的作用？,总结:一沙一世界,一花一天堂,想什么,就会做什么事;想什么,就会产生什么样的理论思想是一粒种子,生根发芽,不断壮大.我们所需要的就是那样的一粒种子,给予它营养不断成长,尚书星星之火,可以燎原巴尔扎克:一个能思想的人,才真是一个力量无边的人一切只是源于一个想法,思考,为什么元朝以后我们国家的科学发展停滞了？为什么世界古文明只有中华文明发展至今？不是古希腊的文明不发达,不是古印度的思想不深刻,大作业,关于计算机中的逻辑应用(题目自拟)要求:电子版发到buaa.logic(doc格式)邮件题目:学号-姓名-大作业题目,题目为关键词纸版送到G616,存档截止时间:数理逻辑考试之前,参考题目,计算机语言背后的逻辑系统(Lisp,ML)硬件系统的逻辑描述网络协议中的逻辑验证逻辑理论机的原理(Newell,Shaw,Simon,TheLogicTheoryMachine)罗素类型论GrardHuet简单类型论王浩Gentzen-style系统Martinlf直觉主义类型论(Nuprl)范畴抽象机CAM和CAML语言指针的逻辑描述(参考中科大相关论文)自动定理证明器Automatedtheoremproving(HOL,Isabella,PVSetc),谢谢!,2010.12.16,
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我的逻辑思维不是很好 我想请问你们大家是不是这样
我们每一个人小时候都有一个很大的梦，想当大官员，大作家，大富豪等等。随着年龄的增长梦想却越来越小，因为年轻时梦想一个个破灭，然而当他完全长大时，有些机会和条件可以帮他实现梦想时，他却不再去想，更不会去做，结果就会像那只大象一样困死在自己的圈子里。一位哲人说：“人因梦想而伟大。
物理学十大难题(未解决)都有哪些?
抑或这些数值必须如此,因为其中深藏着某种逻辑? 2. 量子引力如何帮助解释宇宙起源? 现代物理学的两大理论是标准模型和广义相对论.前者利用量子力学来描述亚原子粒子以及它们所服从的作用力,而后者是有关引力的理论.很久以来,物理学家希望合二为一,得到一种“万物至理”--即量子引力论,以便更深入地了解宇宙,包括...
机关算尽却一朝破灭:赫鲁晓夫的“核讹诈”,命门究竟在哪里?
这种不需要，不是那种我有了自己的就可以不需要苏联的简单的物质替换，而是一种复杂的战略逻辑 ——因为即使拥有了核武器，也不能保证绝对的安全问题，因为苏联在武器装备上还领先中国非常多，而且核讹诈战略有效的关键并不在于核武器有多么可怕，而在于一个关键问题。那就是核武器毫无疑问是一种大规模的...
理想与现实演讲稿
当入仕为官,施展抱负的理想破灭后,李白接受了这事实,仍呤出“天生我才必有用”,的佳句勉励自己。于是他纵情傲物,以洒为朋,邀月为友,诵尽明月之诗,歌遍窈窕之章。于是他登上了中国诗歌的最高峰,有人评其诗曰:酒入毫肠,七分酿成月光,三分啸成剑气,秀口一吐,便是半个盛唐。 此所谓“塞翁失马,焉知非福...
世界的暗逻辑:赌徒思维
这遵循了“低价买进、高价卖出”的逻辑,所以才一轮又一轮的被拉高。 房价为什么很难跌,因为背后押注的人太多了,各种角色都有,这个场子必须得这样撑着。但是没有吹不破的泡沫,泡沫极限大时再破灭是可怕的。 所以中央发话: 房子不是用来炒的,是用来住的。而且出台调控政策给楼市降温,坚决打击那些赌性十足的投机...
镜花水月的造句
引起贪欲烦恼的外境，不过如同水泡一般，贪什么？执什么？这一切，只不过是镜花水月一场，随缘安然岂不更好？人生在世，荣华富贵譬如镜花水月，不必放在心上。理想破灭，恍如镜花水月，让他唏嘘不已。过去就是过去了，不要留恋镜花水月。然而，烦躁的都市啊，请不要忘记，这世界本是镜花水月。然而，这种...
屠格涅夫 列夫托尔斯泰 林清玄 培根
他在逻辑学、美学、教育学方面也提出许多思想。著有《新工具》、《论说随笔文集》等。后者收入58篇随笔,从各个角度论述广泛的人生问题,精妙、有哲理,拥有很多读者。 著有《学术的进步》(1605)和《新工具》(1620)等。培根尖锐地批判了中世纪经院哲学,认为经院哲学和神学严重地阻培根作品《新工具》碍了科学的进步,...
如何反驳既然这么赚钱,你为什么不去做还来这招商?
因为说的都属于理想化，只是能把理想化破灭后有价值的一面整合最终打到实现现实层面是人格上的成功和胜利 更可贵值得欣赏一些。也只是而已。所以你行你上逻辑的对错真是无所谓，对错不重要，重要的是如何面对理想化的破灭。
逻辑学中西线无战事无战事是普遍概
“祖国”等爱国主义口号后，自愿报名参军，经过短期训练后开赴西线参战。但自从上了战场的那一刻起，这帮热血青年对生活热忱的理想便在残酷的硝烟与弹片的现实面前破灭了。确实，面对着鲜血、残肢，、碎肉、脑浆和毒气；面对着活生生的同学和战友一个个阵亡，战场成了一个个无名士兵的坟墓的惨剧；面对着...
看完才知道什么叫逻辑感人,刘
因为人常为自己的破灭与筹算的错误而自嘲;然而这种慰籍,无论命运对你任何,你总能以坚定的步伐前进,而且充满荣誉感。 不可压倒一切,但也你能被一切压倒。 人可有傲骨,但不可有媚气; 人不可有傲气,但可有正气。 名人与凡人的差别在什么地方?名人用过的东西就是文物,凡人用过的就是废物;名人强词夺理叫雄辩,...
休宁县17260779177：
逻辑问之 - 1:数理逻辑与形式逻辑的区别如题 ？
尾叔小儿： 形式逻辑,又称普通逻辑,是研究思维形式及其结构、思维规律的科学. 数理逻辑,又称符号逻辑,是用数学方法研究关于推理证明等问题的一门学科. 前者研究思维形式及其结构、思维规律,还研究定义、划分、分析、综合、试验、假说等逻辑方法. 后者主要内容有命题演算、谓词演算、算法理论、递归论、证明论、模型论和集合论等. 仅供参考.
休宁县17260779177：
2,创立了数理逻辑的是谁 - ？
尾叔小儿： 德国启蒙思想家 莱布尼茨(1646—1716)是德国自然科学家、哲学家、唯理论者、数理逻辑的创始人.他的主要著作有《形而上学谈话》、《人类理智新论》、《神正论》、《单子论》等.
休宁县17260779177：
极限的产生与第二次数学危机有什么关系 - ？
尾叔小儿： 为了讲清楚三次数学危机的来龙去脉,我们首先要说明什么是数学危机.一般来讲,危机是一种激化的、非解决不可的矛盾.从哲学上来看,矛盾是无处不在的、不可避免的,即便以确定无疑著称的数学也不例外.人类最早认识的是自然数....
休宁县17260779177：
数理逻辑是啥? - ？
尾叔小儿： 数理逻辑又称符号逻辑、理论逻辑.它是数学的一个分支,是用数学方法研究逻辑或形式逻辑的学科.其研究对象是对证明和计算这两个直观概念进行符号化以后的形式系统.数理逻辑是数学基础的一个不可缺少的组成部分.虽然名...
休宁县17260779177：
引起数学的第三次危机的根本原因是什么? - ？
尾叔小儿：[答案] 数学史上的第三次危机,是由1897年的突然冲击而出现的,到现在,从整体来看,还没有解决到令人满意的程度.这次危机... 当时正是数学空前兴旺发达的时期.首先是逻辑的数学化,促使了数理逻辑这门学科诞生. 十九世纪七十年代康托尔创立的集...
休宁县17260779177：
数理逻辑最初是由哪位科学家提出的 - ？
尾叔小儿： 数理逻辑是以符号语言为主要工具语言的逻辑,也被称为符号逻辑.其提出可以追溯到17世纪后期到18世纪早期的著名科学家和哲学家“莱布尼茨(Leibniz, 1646-1716)”,他的代表作是《人类理智新论》.他区分了理性真理和事实真理,前者必...
休宁县17260779177：
欧几里德的数学成就都有哪些那 - ？
尾叔小儿： 欧几里得人物成就 欧几里得在《几何原本》中对完全数做了探究,他通过 2^(n-1)·(2^n-1) 的表达式发现头四个完全数的. 欧几里德算法又称辗转相除法,用于计算两个整数a,b的最大公约数. 《几何原本》是一部集前人思想和欧几里得个...
休宁县17260779177：
东方历史上为什么没有产生数理逻辑体系 - ？
尾叔小儿： 社会环境影响还是主要因素之一,东方代表的农耕文明,对理性的科学体系并未从思想上树立一种重要的地位,只是在某些知识分子的努力下,对前人的成果总结才形成一定的规范,最主要的还是社会的“重农”思想,对科学的发展有很大的抑制作用
休宁县17260779177：
什么是数理逻辑? - ？
尾叔小儿：[答案] 数理逻辑又称符号逻辑、理论逻辑.它既是数学的一个分支,也是逻辑学的一个分支.是用数学方法研究逻辑或形式逻辑的学科.其研究对象是对证明和计算这两个直观概念进行符号化以后的形式系统.数理逻辑是数学基础的一个不可缺少的组成部分.虽然...
休宁县17260779177：
简述数学的发展史,并举例说明该时期有哪些主要成就 - ？
尾叔小儿： 1、第一部分初等数学发展史(一)课程内容 1、数学的起源与早期发展 (1)数与形概念的产生 (2)河谷文明与早期数学 2、古希腊数学 (1)论证数学的发端 (2)亚历山大学派 3、古代中国数学的鼎盛 (1)《周髀算经》与《九章算术》 ...
