微分方程求解

微分方程的特解怎么求~

二次非齐次微分方程的一般解法
一般式是这样的ay''+by'+cy=f(x)
第一步：求特征根
令ar²+br+c=0，解得r1和r2两个值，（这里可以是复数，例如(βi)²=-β²）
第二步：通解
1、若r1≠r2，则y=C1*e^(r1*x)+C2*e^(r2*x)
2、若r1=r2,则y=(C1+C2x)*e^(r1*x)
3、若r1,2=α±βi,则y=e^(αx)*(C1cosβx+C2sinβx)
第三步：特解
f(x)的形式是e^(λx)*P(x)型，（注：P（x）是关于x的多项式，且λ经常为0）
则y*=x^k*Q(x)*e^（λx） (注：Q（x）是和P（x）同样形式的多项式，例如P（x）是x²+2x，则设Q（x）为ax²+bx+c，abc都是待定系数)
1、若λ不是特征根 k=0 y*=Q(x)*e^（λx）
2、若λ是单根 k=1 y*=x*Q(x)*e^（λx）
3、若λ是二重根 k=2 y*=x²*Q(x)*e^（λx）（注：二重根就是上面解出r1=r2=λ）
f(x)的形式是e^(λx)*P(x)cosβx或e^(λx)*P(x)sinβx
1、若α+βi不是特征根，y*=e^λx*Q(x)(Acosβx+Bsinβx)
2、若α+βi是特征根，y*=e^λx*x*Q(x)(Acosβx+Bsinβx)（注：AB都是待定系数）
第四步：解特解系数
把特解的y*'',y*',y*都解出来带回原方程，对照系数解出待定系数。
最后结果就是y=通解+特解。
通解的系数C1，C2是任意常数。
拓展资料：
微分方程
微分方程指描述未知函数的导数与自变量之间的关系的方程。微分方程的解是一个符合方程的函数。而在初等数学的代数方程，其解是常数值。
高数常用微分表

唯一性
存在定一微 分程及约束条件，判断其解是否存在。唯一性是指在上述条件下，是否只存在一个解。针对常微分方程的初值问题，皮亚诺存在性定理可判别解的存在性，柯西-利普希茨定理则可以判别解的存在性及唯一性。针对偏微分方程，柯西-克瓦列夫斯基定理可以判别解的存在性及唯一性。 皮亚诺存在性定理可以判断常微分方程初值问题的解是否存在。

把y的导数转化，如图，再对两边分别求积分就可以得到关于y的式子。
望采纳🤗。

y'=dy/dx,代入，两边同时除以±√（y²-1）：
dy/√（y²-1）=±dx
两边积分：
∫dy/√（y²-1）=±∫dx
前面，换元法，设y=secθ=1/cosθ，
dy=-1/cos²θ.（-sinθ）dθ=secθtanθdθ
√（y²-1）=√（sec²θ-1）=√tan²θ=tanθ
∫secθtanθ/tanθ.dθ=±∫dx
∫secθdθ=±∫dx
万能转换：设t=tan（θ/2），θ=2arctant，dθ=2/（1+t²）.dt
secθ=（1+t²）/（1-t²）
代入：
∫2/(1-t²）dt=±∫dx
∫[1/（1-t）+1/（1+t）]dt=±∫dx
-ln(1-t)+ln(1+t)=±x+C
ln[(1+t)/(1-t)]=±x+C
ln[(1+t²+2t）/（1-t²）]=±x+C
ln[secθ+tanθ]=±x+C
ln[y+√（y²-1）]=±x+C

y'=±√(y²-1)
dy/√(y²-1) =±dx
ln[y+√(y²-1)]=±(x+C)
【注：∫dx/√(x²-1)=ln[x+√(x²-1)]+C是个公式，课本上一个例题，请自行查阅(令x=sec t)】
ln²[y+√(y²-1)]=(x+C)²【为了去掉±，故两边平方】

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莱城区19810815901： 微分方程求解,过程详细,谢谢 - ？
郗都九味： 求微分方程 (y²-3x²)dy+2xydx=0的通解 解:Q=y²-3x²;P=2xy;∂P/∂Y=2x≠∂Q/∂x=-6x;所以不是全微分方程. 但 (1/P)[(∂P/∂y)-(∂Q/∂x)]=(1/2xy)(2x+6x)=4/y=H(y)是y的函数,故有积分因子μ: μ=e^[-∫H(y)dy]=e^[-∫(4/y)dy]=e^...

莱城区19810815901： 微分方程求解 - ？
郗都九味： 设u=xy', u'=y'+xy'' y''+y'/x-x=0 =>xy''+y'=x^2 =>u'=x^2 =>u=1/3 x^3+C 即xy'=1/3 x^3+C, y'=1/3 x^2+C/x y=1/9 x^3 +Cln|x|+C2

莱城区19810815901： 微分方程的求解过程一般求解过程 - ？
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莱城区19810815901： 怎样求微分方程的一般解,求公式 - ？
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莱城区19810815901： 怎么解微分方程? - ？
郗都九味：[答案] 首先,假设你已经知道啥叫微分方程. 一般的微分方程是没办法直接解出精确的解来的. 但是我们大多数情况下遇到的方程是可以有现成的解法的.具体这里不讲了.你只要随便去弄本讲微分方程的书看看就懂了. 当然你事先要好好学下数学分析.这里推荐...

莱城区19810815901： 求微分方程的解 - ？
郗都九味： dy/dt=-50(y-cost)=-50y+50cost 先求对应的齐次方程dy/dt=-50y dy/y=-50dt ln|y|=-50t+C 即y=C e^(-50t) 由常数变易法,令y=C(t)e^(-50t) 代入原方程得C'(t)=50cost e^(50t) 注:令U=∫cost e^(50t)dt C(t)=50U=∫cost d [e^(50t)]=cost e^(50t)+∫sint e^(50t)...

莱城区19810815901： 怎样求微分方程的通解? - ？
郗都九味：[答案] 含有未知函数及其导数的方程称为微分方程 例如求未知函数y=y(x) 其满足y”+y'+y=x 要了解更多内容可参考任何一本巜常微分方程》

莱城区19810815901： 怎样解一元微分方程 - ？
郗都九味：[答案] 一元微分方程有许多种类,各种不同的微分方程的解法也不尽相同,你可以按如下顺序开始你的学习:1.可分离变量的微分方程,一阶线性微分方程 2.线性微分方程解的结构. 3.二阶常系数齐次线性微分方程 4.二阶常系数非齐次线性微分方程 5.可降...

莱城区19810815901： 求解微分方程 - ？
郗都九味： 通解:求解y''-y'=0,特征方程x²-x=0,解得x₁=1,x₂=0 因此通解为y=C₁e˟+C₂ 特解:通过观察,不妨设y=ax²+bx+c,则有2a-(2ax+b)=x 解得a=0.5,b=1,因此特解为y=0.5x²+x 综上所述:y=0.5x²+x+C₁e˟+C₂

莱城区19810815901： 微分方程求解？
郗都九味： 先解得 y'=加减根号[(by-c)/a] 然后分别求解微分方程: y'=根号[(by-c)/a] 与 y=-根号[(by-c)/a] 即可 对于 y'=根号[(by-c)/a] 可以化为 dy/根号[(by-c)/a]=dx 两边求积分,可解得y