微分方程求解
二次非齐次微分方程的一般解法
一般式是这样的ay''+by'+cy=f(x)
第一步:求特征根
令ar²+br+c=0,解得r1和r2两个值,(这里可以是复数,例如(βi)²=-β²)
第二步:通解
1、若r1≠r2,则y=C1*e^(r1*x)+C2*e^(r2*x)
2、若r1=r2,则y=(C1+C2x)*e^(r1*x)
3、若r1,2=α±βi,则y=e^(αx)*(C1cosβx+C2sinβx)
第三步:特解
f(x)的形式是e^(λx)*P(x)型,(注:P(x)是关于x的多项式,且λ经常为0)
则y*=x^k*Q(x)*e^(λx) (注:Q(x)是和P(x)同样形式的多项式,例如P(x)是x²+2x,则设Q(x)为ax²+bx+c,abc都是待定系数)
1、若λ不是特征根 k=0 y*=Q(x)*e^(λx)
2、若λ是单根 k=1 y*=x*Q(x)*e^(λx)
3、若λ是二重根 k=2 y*=x²*Q(x)*e^(λx)(注:二重根就是上面解出r1=r2=λ)
f(x)的形式是e^(λx)*P(x)cosβx或e^(λx)*P(x)sinβx
1、若α+βi不是特征根,y*=e^λx*Q(x)(Acosβx+Bsinβx)
2、若α+βi是特征根,y*=e^λx*x*Q(x)(Acosβx+Bsinβx)(注:AB都是待定系数)
第四步:解特解系数
把特解的y*'',y*',y*都解出来带回原方程,对照系数解出待定系数。
最后结果就是y=通解+特解。
通解的系数C1,C2是任意常数。
拓展资料:
微分方程
微分方程指描述未知函数的导数与自变量之间的关系的方程。微分方程的解是一个符合方程的函数。而在初等数学的代数方程,其解是常数值。
高数常用微分表
唯一性
存在定一微 分程及约束条件,判断其解是否存在。唯一性是指在上述条件下,是否只存在一个解。针对常微分方程的初值问题,皮亚诺存在性定理可判别解的存在性,柯西-利普希茨定理则可以判别解的存在性及唯一性。针对偏微分方程,柯西-克瓦列夫斯基定理可以判别解的存在性及唯一性。 皮亚诺存在性定理可以判断常微分方程初值问题的解是否存在。
把y的导数转化,如图,再对两边分别求积分就可以得到关于y的式子。
望采纳🤗。
y'=dy/dx,代入,两边同时除以±√(y²-1):
dy/√(y²-1)=±dx
两边积分:
∫dy/√(y²-1)=±∫dx
前面,换元法,设y=secθ=1/cosθ,
dy=-1/cos²θ.(-sinθ)dθ=secθtanθdθ
√(y²-1)=√(sec²θ-1)=√tan²θ=tanθ
∫secθtanθ/tanθ.dθ=±∫dx
∫secθdθ=±∫dx
万能转换:设t=tan(θ/2),θ=2arctant,dθ=2/(1+t²).dt
secθ=(1+t²)/(1-t²)
代入:
∫2/(1-t²)dt=±∫dx
∫[1/(1-t)+1/(1+t)]dt=±∫dx
-ln(1-t)+ln(1+t)=±x+C
ln[(1+t)/(1-t)]=±x+C
ln[(1+t²+2t)/(1-t²)]=±x+C
ln[secθ+tanθ]=±x+C
ln[y+√(y²-1)]=±x+C
y'=±√(y²-1)
dy/√(y²-1) =±dx
ln[y+√(y²-1)]=±(x+C)
【注:∫dx/√(x²-1)=ln[x+√(x²-1)]+C是个公式,课本上一个例题,请自行查阅(令x=sec t)】
ln²[y+√(y²-1)]=(x+C)²【为了去掉±,故两边平方】
微分方程的通解怎么求
微分方程的通解是一种普遍适用的解法,可以解决各种不同类型的微分方程。以下是求微分方程通解的步骤:1、首先,确定微分方程的类型。常见的微分方程类型包括一阶微分方程、二阶微分方程和高阶微分方程。对于一阶微分方程,通常采用积分法求解。即对微分方程进行积分,得到一个关于未知函数的一元一次方程,再...
如何求解微分方程?
微分方程的解通常是一个函数表达式y=f(x),(含一个或多个待定常数,由初始条件确定)。例如:dy\/dx=sin x,其解为: y=-cos x+C,其中C是待定常数;如果知道y=f(π)=2,则可推出C=1,而可知 y=-\\cos x+1。一阶线性常微分方程 对于一阶线性常微分方程,常用的方法是常数变易法:对于...
一个方程,把它变成一个分式方程,怎么求解?
(5\/7)x ÷ 5\/14 = 4\/15 (5\/7)x = 4\/15 × 5\/14 【移向】(5\/7)x = 2\/21 【合并同类项】x = 2\/21 ÷ 5\/7 【系数化成1】x = 2\/21 × 7\/5 x = 2\/15 二、解方程的知识点 1、解方程的概念 方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值。解方程是求方程全...
一阶常微分方程怎么求解啊?
一阶常微分方程求解公式如下:一阶线性齐次微分方程公式:y'+P(xy)=Q(x)。Q(x)称为自由项。一阶,指的是方程中关于Y的导数是一阶导数。线性,指的是方程简化后的每一项关于y、y'的指数为1。通解求法:一阶线性微分方程的求解一般采用常数变易法,通过常数变易法,可求出一阶线性微分方程...
一阶线性微分方程求解
一阶线性微分方程求解方法如下:一阶线性微分方程的求解一般采用常数变易法,通过常数变易法,可求出一阶线性微分方程的通解。对于一阶齐次线性微分方程:其通解形式为:其中C为常数,由函数的初始条件决定。微分方程简介:微分方程,是指含有未知函数及其导数的关系式。解微分方程就是找出未知函数。微分方程...
分式方程怎么求解?
那么方程无解。在解方程组时,我们需要检查方程组是否存在矛盾的情况。需要注意的是,在解分式方程时,我们通常会对方程进行化简和变形,以使方程变得更简单和易于求解。在化简的过程中,可能会产生无意义的解或新的限制条件,所以在求解方程的过程中,需要进行合理的检查和验证。
如何求微分方程通解?
当为多项式的时候可以根据公式直接来设出特解而且这个是有固定的公式,然后根据取值把特解求出来再加上通解就可以了。一、常用的几个:1、Ay''+By'+Cy=e^mx 特解 y=C(x)e^mx 2、Ay''+By'+Cy=a sinx + bcosx 特解 y=msinx+nsinx 3、Ay''+By'+Cy= mx+n 特解 y=ax ...
分式方程数学题求解,要过程~~~
1.去分母,得 x+2+k(x-2)=4 x=-2就是此方程的根,代入得k=-1 2.(1)x=a或x=2\/a,(2)x=a或x=3\/(a-1)3.(1)1\/1*2+1\/2*3+1\/3*4+...+1\/99*100=(1-1\/2)+(1\/2-1\/3)+(1\/3-1\/4)+...+(1\/99-1\/100)=1-1\/100=99\/100 (2)1\/1*2+1\/2*3+1\/3*...
【高数笔记】微分方程及其求解(一)
深入探索:微分方程的世界(一)在高等数学的领域中,微分方程如同乐谱上的旋律,揭示了函数关系的美妙变化。当方程的形式呈现出特定的规律时,求解之道就变得清晰起来。首先,我们来理解可分离变量的方程,它们以简洁的面目出现:如果一个方程可以化为 \\( \\frac{dy}{dx} = f(x)g(y) \\) 的形式,...
如何求解微分方程的通解?
微分方程的特解求法如下:f(x)的形式是e^(λx)*P(x)型,(注:P(x)是关于x的多项式,且λ经常为0)则y*=x^k*Q(x)*e^(λx) (注:Q(x)是和P(x)同样形式的多项式,例如P(x)是x²+2x,则设Q(x)为ax²+bx+c,abc都是待定系数)1、若λ不是特征根 k=0 ...
郗都九味: 求微分方程 (y²-3x²)dy+2xydx=0的通解 解:Q=y²-3x²;P=2xy;∂P/∂Y=2x≠∂Q/∂x=-6x;所以不是全微分方程. 但 (1/P)[(∂P/∂y)-(∂Q/∂x)]=(1/2xy)(2x+6x)=4/y=H(y)是y的函数,故有积分因子μ: μ=e^[-∫H(y)dy]=e^[-∫(4/y)dy]=e^...
莱城区19810815901: 微分方程求解 - ?
郗都九味: 设u=xy', u'=y'+xy'' y''+y'/x-x=0 =>xy''+y'=x^2 =>u'=x^2 =>u=1/3 x^3+C 即xy'=1/3 x^3+C, y'=1/3 x^2+C/x y=1/9 x^3 +Cln|x|+C2
莱城区19810815901: 微分方程的求解过程一般求解过程 - ?
郗都九味:[答案] 微分方程求解 在Mathematica中使用Dsolove[]可以求解线性和非线性微分方程,以及联立的微分方程组.在没有给定方程的初值条件下,我们所得到的解包括C[1],C[2]是待定系数. 下面给 出微分方程(组)的求解函数.
莱城区19810815901: 怎样求微分方程的一般解,求公式 - ?
郗都九味:[答案] 这是我以前写的“低阶微分方程的一般解法” 一.g(y)dy=f(x)dx形式 可分离变量的微分方程,直接分离然后积分 二.可化为dy/dx=f(y/x)的齐次方程 换元,分离变量 三.一阶线性微分方程 dy/dx+P(x)y=Q(x) 先求其对应的一阶齐次方程,然后用常数变易法带换...
莱城区19810815901: 怎么解微分方程? - ?
郗都九味:[答案] 首先,假设你已经知道啥叫微分方程. 一般的微分方程是没办法直接解出精确的解来的. 但是我们大多数情况下遇到的方程是可以有现成的解法的.具体这里不讲了.你只要随便去弄本讲微分方程的书看看就懂了. 当然你事先要好好学下数学分析.这里推荐...
莱城区19810815901: 求微分方程的解 - ?
郗都九味: dy/dt=-50(y-cost)=-50y+50cost 先求对应的齐次方程dy/dt=-50y dy/y=-50dt ln|y|=-50t+C 即y=C e^(-50t) 由常数变易法,令y=C(t)e^(-50t) 代入原方程得C'(t)=50cost e^(50t) 注:令U=∫cost e^(50t)dt C(t)=50U=∫cost d [e^(50t)]=cost e^(50t)+∫sint e^(50t)...
莱城区19810815901: 怎样求微分方程的通解? - ?
郗都九味:[答案] 含有未知函数及其导数的方程称为微分方程 例如求未知函数y=y(x) 其满足y”+y'+y=x 要了解更多内容可参考任何一本巜常微分方程》
莱城区19810815901: 怎样解一元微分方程 - ?
郗都九味:[答案] 一元微分方程有许多种类,各种不同的微分方程的解法也不尽相同,你可以按如下顺序开始你的学习:1.可分离变量的微分方程,一阶线性微分方程 2.线性微分方程解的结构. 3.二阶常系数齐次线性微分方程 4.二阶常系数非齐次线性微分方程 5.可降...
莱城区19810815901: 求解微分方程 - ?
郗都九味: 通解:求解y''-y'=0,特征方程x²-x=0,解得x₁=1,x₂=0 因此通解为y=C₁e˟+C₂ 特解:通过观察,不妨设y=ax²+bx+c,则有2a-(2ax+b)=x 解得a=0.5,b=1,因此特解为y=0.5x²+x 综上所述:y=0.5x²+x+C₁e˟+C₂
莱城区19810815901: 微分方程求解?
郗都九味: 先解得 y'=加减根号[(by-c)/a] 然后分别求解微分方程: y'=根号[(by-c)/a] 与 y=-根号[(by-c)/a] 即可 对于 y'=根号[(by-c)/a] 可以化为 dy/根号[(by-c)/a]=dx 两边求积分,可解得y