岩石中波的衰减

基于应力波衰减的岩石冲击损伤模型~

一、损伤变量的定义
利用损伤理论来研究问题的主要步骤为：首先定义一个表征损伤的合适的状态参量——损伤变量，然后根据外载的情况，确定研究对象在外载作用下的损伤演化方程和考虑损伤的本构关系，最后根据相应的初、边值条件求解物体内某点的应力应变场和整体损伤场。因此损伤变量的定义是基础，正确、合理的损伤变量不仅能够使问题简化，而且其损伤演化方程和本构方程也易于建立并且具有明确的物理意义。所以，损伤变量的定义在冲击损伤模型的研究中具有基础和根本性的地位。下面对几种常见的岩石冲击理论模型中损伤变量的定义方法进行分析、比较。
Kipp-Grady（K-G）损伤模型认为岩石中含有大量的原生裂纹，这些裂纹的长度及其方位的空间分布是随机的。在外载作用下，其中的一些裂纹被激活并扩展。其损伤变量D定义为（杨军，1996）

岩石断裂与损伤

其中：Cg为裂纹扩展速度，设为一常数；k、m为材料常数；ε为体积应变；t为时间。同时，如果设V（t）、-V（t）、N（t）分别为单条裂纹影响的岩石体积、单条裂纹影响的岩石体积的平均值、岩石中含有的裂纹数目，式（13-1）可以表示为：D（t）=-V（t）N（t），由此可见损伤变量等于受损岩石的体积，在K G模型中，损伤变量只是与微观量有关，并没有同材料的宏观模量发生联系。其中：Cg为裂纹扩展速度，设为一常数；k、m为材料常数；ε为体积应变；t为时间。同时，如果设V（t）、-V（t）、N（t）分别为单条裂纹影响的岩石体积、单条裂纹影响的岩石体积的平均值、岩石中含有的裂纹数目，式（13-1）可以表示为：D（t）=-V（t）N（t），由此可见损伤变量等于受损岩石的体积，在K G模型中，损伤变量只是与微观量有关，并没有同材料的宏观模量发生联系。其中：Cg为裂纹扩展速度，设为一常数；k、m为材料常数；ε为体积应变；t为时间。同时，如果设V（t）、-V（t）、N（t）分别为单条裂纹影响的岩石体积、单条裂纹影响的岩石体积的平均值、岩石中含有的裂纹数目，式（13-1）可以表示为：D（t）=-V（t）N（t），由此可见损伤变量等于受损岩石的体积，在K G模型中，损伤变量只是与微观量有关，并没有同材料的宏观模量发生联系。其中：Cg为裂纹扩展速度，设为一常数；k、m为材料常数；ε为体积应变；t为时间。同时，如果设V（t）、-V（t）、N（t）分别为单条裂纹影响的岩石体积、单条裂纹影响的岩石体积的平均值、岩石中含有的裂纹数目，式（13-1）可以表示为：D（t）=-V（t）N（t），由此可见损伤变量等于受损岩石的体积，在K G模型中，损伤变量只是与微观量有关，并没有同材料的宏观模量发生联系。其中：Cg为裂纹扩展速度，设为一常数；k、m为材料常数；ε为体积应变；t为时间。同时，如果设V（t）、-V（t）、N（t）分别为单条裂纹影响的岩石体积、单条裂纹影响的岩石体积的平均值、岩石中含有的裂纹数目，式（13-1）可以表示为：D（t）=-V（t）N（t），由此可见损伤变量等于受损岩石的体积，在K G模型中，损伤变量只是与微观量有关，并没有同材料的宏观模量发生联系。其中：Cg为裂纹扩展速度，设为一常数；k、m为材料常数；ε为体积应变；t为时间。同时，如果设V（t）、-V（t）、N（t）分别为单条裂纹影响的岩石体积、单条裂纹影响的岩石体积的平均值、岩石中含有的裂纹数目，式（13-1）可以表示为：D（t）=-V（t）N（t），由此可见损伤变量等于受损岩石的体积，在K G模型中，损伤变量只是与微观量有关，并没有同材料的宏观模量发生联系。
Chen E P和Taylor L M（1984）在K-G模型的基础上引入Budiansky B和O'connell R J关于裂纹材料的裂纹密度Cd和有效泊松比与损伤变量D的关系，建立了TCK损伤模型（Chen E P et al.，O'connell R J et al.，1974；Yang R，1987），损伤变量与材料的宏观模量关系如式（13-2）所示：

岩石断裂与损伤

Budiansky B和O'connell R J用自洽方法获得了含随机分布扁平裂纹裂隙体的宏观等效模量表达式：

岩石断裂与损伤

式中：、K，、E，、G，、μ分别为未受损伤和已损伤岩石的体积模量、弹性模量，剪切模量和泊松比；Cd为裂纹密度；D为损伤变量。
Yang等人建立的损伤模型认为，岩石中裂纹的起裂与扩展是由塑性应变决定的，当岩石中某点的塑性应变大于某临界值时，原有裂纹起裂、扩展。裂纹的扩展，导致岩石损伤，该模型定义的损伤因子D为（O'connell R J et al.，1974）：D=1-exp（S2），岩石损伤前后的弹性常数之间有如下关系：

岩石断裂与损伤

式中：E、G、μ分别为未损伤岩石的弹性模量、剪切模量和泊松比，带上标的为损伤岩石中的量。在此模型中岩石损伤前后的弹性常数与损伤变量之间具有明确的关系。
上述损伤变量的定义不便于工程应用，工程实际中常采用一些简单明了的损伤变量定义方法。
（1）由损伤面积来定义损伤变量：如果由于分布的微裂纹和微空隙的形成与扩展，使材料的横截面积A减小到有效承载面积A*，则损伤变量D的定义为（余天庆等，1993）

岩石断裂与损伤

（2）按弹性模量降低定义损伤变量：设无损伤时材料的弹性模量为E，因损伤后有效弹性模量变为，则损伤变量D定义为（戴俊，2002）

岩石断裂与损伤

由于岩石的弹性模量可由试验直接测得，所以损伤变量很容易定量化，该定义在实际中得到了较为广泛的应用。
（3）根据应力波衰减定义的损伤变量：当材料受损伤以后，由于其微观结构的变化，便会引起在材料内部传播的弹性波速的变化，由此可定义材料的损伤为

岩石断裂与损伤

其中v、分别为材料损伤前后的弹性波速。
（4）由分形维数定义的损伤变量：杨军等人的研究工作表明（杨军等，1999）：岩石中裂纹的分布是一个分形，裂纹分形维数的物理意义可以理解为岩石中裂纹充满空间程度的参量，岩石损伤的过程也是分形维数增加的过程。损伤变量和分形维数之间有如下关系：

岩石断裂与损伤

式中：β为形状影响因子，0＜β＜1；Rf为裂纹的平均半径；Df为裂纹的分形维数。
由于上述损伤模型都是建立在弹性范围内的，所以也称弹性损伤理论，材料弹性常数之间固有的关系仍然成立（徐芝纶，1982）：

岩石断裂与损伤

在工程实际中，如果选取以应力波的衰减来定义损伤变量，不但能够反映出材料的逐渐劣化过程，而且损伤参数的获得也比较容易。假设在损伤变化过程中不考虑材料密度的变化，利用应力波衰减定义的损伤变量与以弹性模量的变化定义的损伤变量一致，即

岩石断裂与损伤

二、损伤演化方程的建立
在冲击载荷的作用下岩石的破坏主要与微裂纹的拉伸激活有关。岩石冲击实验和超声波实验研究揭示了应力波在损伤岩石中传播时的衰减特性，即随着损伤的不断增加，应力波衰减愈大，表现为衰减系数的不断增加，因此可以认为衰减系数α和损伤耗散能YD之间的关系式反映了损伤演化的基本规律：

岩石断裂与损伤

其中：Kα是拟合常数；α0可以认为是岩石介质的初始衰减系数，随着应力波的传播和损伤的演化，介质的衰减系数增加，其损伤程度越来越大。损伤参数与衰减系数间的关系为线性关系，即

岩石断裂与损伤

式中A、B为材料常数，将式（13-12）和式（13-13）写成导数形式为

岩石断裂与损伤

式中C是材料常量（C=1/B）。式（13-14）和式（13-15）为体积拉伸下的损伤演化方程。
体积压缩状态下的损伤演化方程为

岩石断裂与损伤

式中：λ是损伤敏感参数；是压缩塑性功率；D是拉伸损伤。
三、含损伤的本构方程
冲击损伤模型本质上是一种弹性损伤模型，在体积拉伸状态下，其应力应变关系可以表示为（杨军等，1999）

岩石断裂与损伤

将上式写成偏量部分和体积部分的率形式：

岩石断裂与损伤

式中：K和G为损伤岩石的体积模量和剪切模量；D为损伤参数；eij为应变偏量张量；δij为单位张量。式（13-14）、式（13-15）、式（13-18）和式（13-19）构成了冲击损伤模型的封闭方程。
体积压缩状态下采用理想弹塑性模型，屈服强度服从与应变率有关的Mohr-Coulomb准则，即

岩石断裂与损伤

其中：C1是静态屈服强度；C2是应变率参数；为等效塑性应变率；D是拉伸损伤；C3是围压常数；P是压力；σ1、σf是最大主应力和断裂应力。
四、损伤判据的建立
采用最大主应力准则和体积应力准则，可联合判断是否产生损伤累积。材料单元只要满足最大主应力准则就发生断裂损伤。如果材料单元断裂且处于体积拉伸状态则产生损伤累积；而在体积压缩状态下，如果最大主应力准则满足则置压缩强度Y=0，否则压缩强度服从与应变率有关的Mohr-Coulomb准则，即

岩石断裂与损伤

式中：C1、C2和C3为常数。在拉、压两种情况下，只要损伤达到1，单元即丧失承载能力，压力和偏应力均被置为零。

声波能量在岩石中传播时要不断地减弱。除了由于几何扩散所引起的能量衰减外，岩石基质部分及孔隙流体的固有黏弹性和非弹性等特性也要引起声波能量的衰减。由于在这种减弱过程中伴随着能量的转换（由弹性能转换成热能），我们把这种声波能量减弱现象称为吸收。换句话说，吸收是弹性能转换成热能的过程。
由于吸收现象的存在，岩石中的声能量将会随着传播距离的增大而逐渐减弱，直至最后消失。在机制上，目前认为下列诸因素会引起吸收：①孔隙流体的相对流动；②岩石颗粒之间及岩石裂隙面之间的摩擦；③孔隙和流体之间的接触面的相对运动；④大孔隙岩石中的喷流效应和局部饱和效应；⑤几何漫射和薄层效应。
1.吸收现象的描述
野外和实验室观测显示，地震波在岩石中传播时，其振幅呈指数衰减，即
A2=A1exp［-α（z2-z1）］=A1exp（-αΔz） （6-9-1）
式中：α为吸收系数；A1和A2分别代表的z1和z2处所观测到的振幅值。在SI单位制中，吸收系数具有量纲m-1。在实际应用中，吸收系数的常用单位是dB/m。
公式（6-9-1）是一维表达式，假设波沿z轴传播。在三维情况下，z1和z2应被分别置换为两观测点相对于参考点的距离r1和r2。另外，公式（6-9-1）与吸收的机制无关，其正确性由野外实验给出。
除了吸收系数以外，我们还可以利用品质因素Q来对吸收现象进行定量描述。假设声波（地震波）是随时间做简谐运动的单频波。仿照电路理论中对品质因素Q的定义，将岩石的品质因素定义为单位周期内总弹性能量（E）与在传播过程中耗散掉的能量（ΔE）之间的比值乘以2π，即

岩石物理学基础

由这个公式可知，品质因素是一个无量纲的数。
现在考虑Q和α之间的关系。由于声波的能量与振幅的平方成正比，所以可以将Q写为下列形式：

岩石物理学基础

根据公式（6-9-1），A1/A2=exp（-αΔz）。因此，Q=2π/［1-exp（-2αΔz）］。根据级数理论，exp（-2αΔz）=1-2αΔz+（2αΔz）2/2！-…。由此得出：
1-exp（-2αΔz）≈2αΔz （6-9-4）
将这个公式代到（6-9-3），有

岩石物理学基础

根据波动理论，在一个周期内波场传播的距离是一个波长。因此，在一个周期之内，Δz=λ（λ为波长）。由此得出声波的品质因素为

岩石物理学基础

式中：f为频率；v为声波在岩石中的传播速度。
由公式（6-9-6）可知，吸收系数越大，品质因素值越小。对于常见的岩石，Q值一般在几百到几千以上。
2.黏弹性介质的吸收系数
根据黏弹性介质的Kelvin-Voigt模型，

岩石物理学基础

这里，λ′和μ′是为描述黏弹性应力-应变关系所引入的常数。利用这个应力-应变关系并通过引入复波数可以证明，在黏弹性介质中，纵波速度vp和吸收系数αp分别为：

岩石物理学基础


岩石物理学基础

式中

岩石物理学基础


岩石物理学基础

在物理上，ω0具有角频率的量纲，其数值刻画吸收系数与频率的关系。当ω≪ω0时（低频情形），速度vp与频率无关，而吸收系数与频率的平方成正比，即

岩石物理学基础


岩石物理学基础

当频率很高时（ω≫ω0），速度和吸收系数均与频率的平方成正比。
3.由岩石的非弹性骨架引起的吸收系数
岩石骨架的非弹性主要由下列两个因素所引起：①构成骨架颗粒的矿物成分具有非弹性；②由骨架颗粒之间、裂隙面之间的相对摩擦所造成的非弹性。
对于具有裂隙的岩石，利用椭球状颗粒模型可以证明：

岩石物理学基础


岩石物理学基础

式中：n为裂隙的条数；l为裂隙的半长度；Ω为所考察的体积元；χ为摩擦系数；FP（χ，veff）和FS（χ，veff）是依赖于摩擦系数χ和有效泊松（Poisson）比veff的函数。另外，下标P为纵波；下标S为横波；下标F为岩石中的固体颗粒；下标eff为有效；Eeff为有效弹性参数：

岩石物理学基础


岩石物理学基础

其中，对于张开裂隙：
AE=Av=1 （6-9-17）
对于闭合裂隙：

岩石物理学基础


岩石物理学基础

对于没有裂隙的岩石，有两种不同的情况：①颗粒接触面间的光滑滑动（用下标g代表）；②颗粒接触面间的黏滞性摩擦（用下标h代表）。对于第一种情况，

岩石物理学基础

对于第二种情况：

岩石物理学基础

与这两种情况相对应的吸收系数是：

岩石物理学基础


岩石物理学基础

4.由黏滞性孔隙流体引起的吸收系数
根据Biot关于孔隙介质中声波传播的唯象理论，可以计算出由地震波所引起的孔隙流体在孔隙中的流动所造成的能量吸收。令η代表黏度，k代表渗透率。根据Biot的研究工作，在描述孔隙介质中弹性波传播的微分方程中含有一个衰减项：

岩石物理学基础

式中：ζ为分数孔隙度；F（κ）为一个与频率有关的复值函数。假设孔隙具有圆柱形，其半径为a，则

岩石物理学基础

式中：f为频率；ρf为孔隙流体的密度。
当频率较低时，Biot理论给出的吸收系数具有下列形式：

岩石物理学基础


岩石物理学基础

式中：kh为动态渗透率；K为体积模量；下标m为固体骨架；下标f为孔隙流体。另外，密度ρ根据公式ρ=（1-φ）ρm+φρf进行计算。
方程（6-9-26）和（6-9-27）说明，在低频段吸收系数与频率的平方成正比。根据Bi-ot理论可以证明，在高频段吸收系数与频率的平方根成正比。
5.由瑞利（Rayleigh）散射引起的吸收系数
瑞利（Rayleigh）散射是一种高频散射。当波长与岩石不均匀性的线度相当时，会出现由于瑞利散射造成的能量损失。假设孔隙性介质由直径为R的球体堆积而成，则利用散射理论可以证明：
αp～Rf4 （6-9-28）
6.由传热过程引起的吸收系数
假设在声波通过介质时，介质受压缩部分变热，而受拉伸部分将变凉。这时，品质因素与频率的倒数成正比。如果在考虑传热过程的同时引入内摩擦力，则可以证明：

岩石物理学基础

式中：λt为热导率；T为温度；η和ξ为柔性系数；a为导温率；cp为等压比热容。
对于横波，有

岩石物理学基础

对比（6-9-29）和（6-9-30）可以发现，由传热和内摩擦过程引起的吸收系数与频率的平方成正比。

岩石中弹性波的衰减与岩石的宏观整体性质有关，更主要的是取决于岩石的微观性质———岩石内部裂纹的密度、分布、构造以及孔隙流体的相互作用等。所以，研究衰减可以了解岩石的微构造及其变化，以及研究岩石在地下所遇到的环境条件。特别值得注意的是，对于岩石物理状态的变化，测量衰减性质比波速测量要敏感的多，这一性质使得衰减研究成为一个很有价值的研究课题。

1.衰减系数、品质因子及测量

岩石往往不是完全弹性的。当波在其中传播时，就会有一部分机械能转变为热能。岩石中的这种转变称为内摩擦。对于液体和气体，内摩擦的机制主要是由于黏滞性和热传导引起的；而对于固体，特别是对于储集岩石，情况要复杂得多，而且内摩擦还因固体性质的不同而有很大变化。目前还没有令人满意的固体内摩擦理论，还需要更多的实验数据和理论探讨。

对内摩擦最直接的定义是利用比值ΔW/W，其中ΔW是经过一个应力循环所消耗的能量，W是当岩石应变为最大时所贮存的应变能。这个比值又称“损耗比”，可以直接由应力循环实验测量出来，而不需要对内摩擦的机制做任何假设。从本章第一节本构关系部分可知应力循环实验的数据依赖于应力幅度和循环的速度，也与样品受力变形的历史有关。除了损耗比定义外，还有两个常用的表征内摩擦的参数：一是观测岩石样品的受迫振动，得到Q值；另一种方法是研究弹性波在岩石中的衰减，得到衰减系数α。

（1）弹性波的衰减系数α

通过测量弹性波在岩石中传播过程中的衰减，可以研究岩石的内摩擦。小振幅的弹性波，传播时的衰减是指数式的。以一维情形为例，在坐标原点处弹性波的振幅为A₀，传到距原点x处，振幅为

储层岩石物理学

式中：α是衰减系数，它是材料内摩擦的一种量度。当平面波在介质中传播，介质内部出现附加的应力和应变，且σ＝Eε，其中杨氏模量E＝ρυ²。这时，介质中的平均能量密度为

储层岩石物理学

考虑单位时间通过单位横截面的能量，即能流密度 ^{对于声波，能流密度又称为声强。衰减系数与损耗比之间的关系为}式中：υ是波速；ω是角频率；α就是衰减系数。

利用振幅随传播距离的变化可将衰减系数表示为

储层岩石物理学

可以看出，衰减系数的量纲是长度的倒数。从式（3－65）得到的α单位为奈培/米（Np/m）。

（2）强迫振动和品质因子Q

当弹性力正比于位移，而耗散力正比于速度时，一个弹性系统的运动方程可写为 这里F是强迫振动的外力；u是位移；M是质量；_η是阻尼系数；E是弹性常数； 和 分别是位移对时间的一次和二次导数。如果假定为线性阻尼系统，其固有振动频率为ω₀＝ 。当频率为ω的周期性外力F＝F₀sinωt作用在弹性系统上，演示会发生强迫振动，运动方程表为

储层岩石物理学

它有一个特解：

储层岩石物理学

式中：δ是初相；A（ω）是振幅，且有

储层岩石物理学

式中A（ω）随ω变化，其极大值位置可由式（3－67）得出

储层岩石物理学

当式（3－69）右端的分母取得极小值时，A（ω）取得极大值。于是取分母对ω的导数为零，得到

储层岩石物理学

ω_r又称谐振频率，或共振频率，此时A（ω）的值为

储层岩石物理学

从上面两式可以看出，使系统强迫振动振幅为极大值的振动频率并不等于系统的固有振动频率ω₀，而是ω_r。为描述振动系统的内摩擦，仿照电路理论的做法，用相当于“半功率点”的频率范围与谐振频率ω_r的比值来表示，即

储层岩石物理学

其中ω₁和ω₂为半功率点所在的频率 。Q值称为该系统的品质因子，系统内摩擦越小，曲线越尖锐，Q值越大。可以证明，损耗比

储层岩石物理学

Q值是描述岩石非弹性特征的重要参数，对于完全弹性体，Q＝∞。岩石越软，Q值越小。

（3）衰减的实验室测量

声波衰减可通过在规则形状岩心中激发声波共振来实现，衰减小的岩石共振幅度较大，而衰减大的岩石中声波共振幅度小。

2.衰减与频率的关系

在不同频率下测量得到的岩石衰减系数α是不同的。对于地震勘探和声波测井等探测方法使用的频率，岩石的衰减系数是随频率升高而增加的。最简单的关系是线性的，例如，McDonal在1957年得到α＝0.120·f，频率在80～550Hz间适用。但当频率很高时，情况变得复杂。根据Merkulova在1966年和1968年对砂岩样品测量结果显示（图3－17），频率在20～500kHz范围内，衰减（1/Q）随频率升高略微增加，500kHz～10MHz则显著增加。分析认为，500kHz以下的衰减是由于液体流动造成的，而高频的衰减则是波的散射作用引起的。

图3－17 岩石中纵波的衰减与频率的关系

3.衰减与矿物成分、孔隙度的关系

一般说来，波在岩石中的衰减远比在矿物中的衰减要严重，例如，方解石的品质因子Q＝1900，而灰岩Q＝200，差别近十倍。之所以会出现这样的结果，是因为岩石中除矿物外，还存在孔隙和矿物颗粒间的结构面。它们对弹性波的衰减起着很大的作用。一般，火成岩和变质岩的孔隙度远小于沉积岩。从图3－18（Johnston，1979）可以看出，火成岩和变质岩的衰减，远远小于沉积岩，而那些含有大量孔隙和结构面的岩石，特别是未完全固结的沉积岩，波的衰减比致密火成岩可高5～7个数量级。

图3－18 三类岩石品质因子随孔隙度变化规律（引自Johnston，1979）

岩石的孔隙中通常充满液体和气体，所以他们的存在对于岩石中波的衰减有重要影响。当岩石矿物颗粒间不是充满流体，而是由低速高衰减的粘土充填时，波的衰减也会发生很大变化。对于同样的孔隙度，粘土含量大的岩石对波的衰减作用更大。Klimentos（1990）等人根据实验结果，归纳出经验关系：

储层岩石物理学

式中：α为衰减系数；φ是孔隙度；V_cl是粘土含量。

4.衰减与压力的关系

在压力作用下，岩石内部孔隙体积将会减小，粘土矿物也会被压实，所以，由定性分析可知，岩石围压增大，会使波速增加，衰减变小。

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