初中数学竞赛题(急,高悬赏)

初中数学竞赛题~

第一题，通过观察式子x+y和xy都重复了两次，所以可以考虑用还原法，分别设x+y=a,xy=b
则原式可以化为：(a-2b)(a-2)+(b-1)^2
=a^2-2a-2ab+4b+b^2-2b+1
=(a^2-2ab+b^2)-2(a-b)+1
=(a-b)^2-2(a-b)+1
=(a-b-1)^2
所以最后一步还原式子，结果为(x+y-xy-1)^2

第二题我在草稿纸上做了的，算起来很麻烦，答案我就不给了，我只给你个思路，你按我的思路做，一下就可以做出来了

思路：这题观察三个式子，发现不能把式子展开，因为展开的话式子就会很长，算起来很麻烦，但是仔细发现2x-3y+3x-2y=5（x+y），又有公式a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)，这就可以发现解这道题的线索了，可以把式子
(2x-3y)∧3+(3x-2y)∧=[（2x-3y）+(3x-2y)][(2x-3y)^2+(2x-3y)(3x-2y)+(3x-2y)^2]

好了就提醒到这里，你把[（2x-3y）+(3x-2y)]这个式子合并同类型就可以很快得到答案了，接下来你自己做啊，我做老师的点到为止啊，呵呵。。

附注：初中数学竞赛可以锻炼学生的思维，培养学生对数学的兴趣，但有一点你要注意，你不能钻到数学竞赛里了，认为书本上的知识太简单了，不值得一做，如果竞赛题都会做的话那平常的考试绝对没问题了，你如果有这样的想法那就太不对了，我以一个过来人的身份提醒你，学数学还是要立足于课本，打好基础，平常做题举一反三，竞赛题你可以看一看，稍微做一做，不能把所有学数学的精力都投到竞赛里去，那你就太不值了，知道吗？

听我的，你要多看课本，多注重基础的学习（不要认为初中的基础很简单就忽视它），有时间看一看数学的课外读物，查查网上的资料，增加你的数学视野，告诉你，你的数学知识面越广，你的数学就越厉害，不是说你都会做竞赛题你的数学就越厉害，会做数学竞赛题不代表数学厉害，数学知识面广才代表数学厉害，知道吗？

听我一言，包你收益N年

呵呵

学过正弦定理吗？就是三角形里角的正弦比等于角对应边长比（以后用吧，很有用）另外：角的正弦等于其补角的正弦（糟糕！我的图PR与你的PR反了）
PN/NR=△PNM与△RMN的面积之比=PM乘以Sin角PMN/MR乘以Sin角NMR（面积公式：1/2边之积乘以夹角的正弦）
而PM=AMSinA RM=MBSinB
因为角的正弦等于其补角的正弦
所以SinA=SinC=Sin角NMR（事实上角A=角NMR）SinB=Sin角PMN
将后面四式代入第一个式子就解出了
（呼呼！！数学符号好难打）

一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填得零分）
1．在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪．刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是（ ）.
（A）36 （B）37 （C）55 （D）90
答：C．
解：因为4和9的最小公倍数为36，19＋36＝55，所以第二次同时经过这两种设施是在55千米处.
故选C．
2．已知 ， ，且 ，则 的值等于（ ）
（A）－5 （B）5 （C）－9 （D）9
答：C．
解：由已知可得 ， ．又
，
所以 ，
解得 ．
故选C．
3．Rt△ABC的三个顶点 ， ， 均在抛物线 上，并且斜边AB平行于x轴．若斜边上的高为 ，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
答：B．
解：设点A的坐标为 ，点C的坐标为 （ ），则点B的坐标为 ，由勾股定理，得
，
，
，
所以 ．
由于 ，所以 ，故斜边AB上高 ．
故选B．
4．一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（ ）
（A）2004 （B）2005 （C）2006 （D）2007
答：B．
解：根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，使得各部分的内角和增加360°．于是，剪过 次后，可得（ ＋1）个多边形，这些多边形的内角和为（ ＋1）×360°．
因为这（ ＋1）个多边形中有34个六十二边形，它们的内角和为
34×（62－2）×180°=34×60×180°，
其余多边形有（ ＋1）－34＝ －33（个），而这些多边形的内角和不少于（ －33）×180°．所以
（ ＋1）×360°≥34×60×180°＋（ －33）×180°，
解得 ≥2005．
当我们按如下的方式剪2005刀时，可以得到符合条件的结论．先从正方形上剪下1个三角形，得到1个三角形和1个五边形；再在五边形上剪下1个三角形，得到2个三角形和1个六边形……如此下去，剪了58刀后，得到58个三角形和1个六十二边形．再取出33个三角形，在每个三角形上剪一刀，又可得到33个三角形和33个四边形，对这33个四边形，按上述正方形的剪法，再各剪58刀，便得到33个六十二边形和33×58个三角形．于是共剪了
58＋33＋33×58＝2005（刀）．
故选B．
5．如图，正方形 内接于⊙ ，点 在劣弧 上，连结 ， 交 于点 ．若 ，则 的值为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
答：D．
解：如图，设⊙ 的半径为 ， ，则 ， ， ．
在⊙ 中，根据相交弦定理，得 ．
即 ，
所以 ．
连结DO，由勾股定理，得
，
即 ，
解得 ．
所以， ．
故选D．
二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）
6．已知 ， ， 为整数，且 ＋ ＝2006， ＝2005．若 ＜ ，则 ＋ ＋ 的最大值为 ．
答：5013．
解：由 ＋ ＝2006， ＝2005，得
＋ ＋ ＝ ＋4011．
因为 ＋ ＝2006， ＜ ， 为整数，所以， 的最大值为1002．
于是， ＋ ＋ 的最大值为5013．
7．如图，面积为 的正方形DEFG内接于面积为1的正三角形ABC，其中a，b，c是整数，且b不能被任何质数的平方整除，则 的值等于 .
答： ．
解：设正方形DEFG的边长为x，正三角形ABC的边长为m，则 ．由△ADG ∽ △ABC，可得

作者： 221.13.21.* 2006-5-3 12:29 回复此发言

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2 2006全国初中数学竞赛试题及答案（全）
，
解得 ．于是
，
由题意，a＝28，b＝3,c＝48，所以 .
8．正五边形广场ABCDE的周长为2000米．甲、乙两人分别从A，C两点同时出发，沿A→B→C→D→E→A→…方向绕广场行走，甲的速度为50米∕分，乙的速度为46米∕分. 那么，出发后经过 分钟，甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上．
答：104．
解：设甲走完x条边时，甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上，此时甲走了400x米，乙走了 米．于是
，
且 ≤ ，
所以， ≤ ＜ ．
故x=13，此时 ．
9．已知 ，且满足
（ 表示不超过x的最大整数），则 的值等于 ．
答：6．
解：因为 ，所以 ， ，…， 等于0或者1．由题设知，其中有18个等于1，所以
＝ ＝…＝ ＝0，
＝ ＝…＝ ＝1，
所以 ，
≤ ＜ ．
故 ≤ ＜ ，于是 ≤ ＜ ，所以 6．
10．小明家电话号码原为六位数，第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8，成为一个七位数的电话号码；第二次升位是在首位号码前加上数字2，成为一个八位数的电话号码．小明发现，他家两次升位后的电话号码的八位数，恰是原来电话号码的六位数的81倍，则小明家原来的电话号码是 ．
答：282500．
解：设原来电话号码的六位数为 ，则经过两次升位后电话号码的八位数为 ．
根据题意，有81× ＝ ．
记 ，于是
，
解得 ．
因为 ≤ ≤ ，所以
≤ ＜ ，
故 ＜ ≤ ．
因为 为整数，所以 ＝2．于是
．
所以，小明家原来的电话号码为282500．

三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）
11（A）．已知 ， , 为互质的正整数，且 ≤ ， ．
（1）试写出一个满足条件的x；
（2）求所有满足条件的 ．
解：（1） 满足条件． ……………………5分
（2）因为 ， , 为互质的正整数，且 ≤ ，所以
，
即
．
当a＝1时， ，这样的正整数b不存在．
当a＝2时， ，故b＝1，此时 ．
当a＝3时， ，故b＝2，此时 ．
当a＝4时， ，与 互质的正整数b不存在．
当a＝5时， ，故b＝3，此时 ．
当a＝6时， ，与 互质的正整数b不存在．
当a＝7时， ，故b＝3，4，5，此时 ， ， ．
当a＝8时， ，故b＝5，此时 ．
所以，满足条件的所有分数为 ， ， ， ， ， ， ．
…………………15分
12（A）．设 ， ， 为互不相等的实数，且满足关系式
①
及 ， ②
求 的取值范围．
解法1：由①－2×②得
，
所以 ．
当 时，
．
…………………10分
又当 ＝ 时，由①，②得
， ③
， ④
将④两边平方，结合③得
，
化简得
，
故 ，
解得 ，或 ．
所以， 的取值范围为 且 ， ．
……………15分
解法2：因为 ， ，所以
＝ ＝ ，
所以 ．
又 ，所以 ， 为一元二次方程
⑤
的两个不相等实数根，故
，
所以 ．
当 时，
．
…………………10分
另外，当 ＝ 时，由⑤式有
，
即
，或 ，
解得 ，或 ．
所以， 的取值范围为 且 ， ．
…………………15分
13（A）．如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为A，B．过点A作PB的平行线，交⊙O于点C．连结PC，交⊙O于点E；连结AE，并延长AE交PB于点K． 求证： ．
证明：因为AC‖PB，所以 ．又PA是⊙O的切线，所以 ．故 ，于是
△KPE∽△KAP，
所以 ，

作者： 221.13.21.* 2006-5-3 12:29 回复此发言

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3 2006全国初中数学竞赛试题及答案（全）
即 ．
………………5分
由切割线定理得
，
所以， KP＝KB．
…………………10分
因为AC‖PB，所以，△KPE∽△ACE，于是
，
故 ，
即 ．
…………………15分
14（A）．2006个都不等于119的正整数 排列成一行数，其中任意连续若干项之和都不等于119，求 的最小值．
解：首先证明命题：对于任意119个正整数 ，其中一定存在若干个（至少一个，也可以是全部）的和是119的倍数．
事实上，考虑如下119个正整数
， ，…， ， ①
若①中有一个是119的倍数，则结论成立．
若①中没有一个是119的倍数，则它们除以119所得的余数只能为1，2，…，118这118种情况．所以，其中一定有两个除以119的余数相同，不妨设为 和 （ ≤ ＜ ≤ ），于是
，
从而此命题得证．
…………………5分
对于 中的任意119个数，由上述结论可知，其中一定有若干个数的和是119的倍数，又由题设知，它不等于119，所以，它大于或等于2×119，又因为 ，所以
≥ ． ②
…………………10分
取 ，其余的数都为1时，②式等号成立．
所以， 的最小值为3910．
…………………15分
11（B）．已知△ 中， 是锐角．从顶点 向 边或其延长线作垂线，垂足为 ；从顶点 向 边或其延长线作垂线，垂足为 ．当 和 均为正整数时，△ 是什么三角形？并证明你的结论．
解：设 ， 均为正整数，则
，
所以，mn＝1，2，3．
…………………5分
（1）当mn＝1时， ， ，此时 ．所以 垂直平分 ， 垂直平分 ，于是△ 是等边三角形．
（2）当mn＝2时， ， ，此时 ，或 ，所以点 与点 重合，或点 与点 重合．故 ，或 ，于是△ 是等腰直角三角形．
（3）mn＝3时， ， ，此时 ，或 ．于是 垂直平分 ，或 垂直平分 ．故 ，或 ，于是△ 是顶角为 的等腰三角形．
…………………15分

12（B）．证明：存在无穷多对正整数 ，满足方程
．
证法1：原方程可以写为
，
于是
是完全平方数．
…………………5分
设 ，其中k是任意一个正整数，则 ．
…………………10分
于是

，或 ．
所以，存在无穷多对正整数 （其中k是正整数）满足题设方程．
…………………15分
证法2：原方程可写为
，
所以可设
（x是正整数）， ①

取 ． ②
…………………5分
① －②得
．
令 （y是任意正整数），则 ．
…………………10分
于是
．
所以，存在无穷多对正整数 （其中y是任意正整数）满足题设方程．
…………………15分
13（B）．如图，已知锐角△ABC及其外接圆⊙O，AM是BC边的中线．分别过点B，C作⊙O的切线，两条切线相交于点X，连结AX．求证： ．

证明：设AX与⊙O相交于点 ，连结OB，OC， ．又M为BC的中点，所以，连结OX，它过点M．
因为 ，所以
． ①
又由切割线定理得
． ②
…………………5分
由①，②得
，
于是
△XMA∽△ ，
所以
．
…………………10分
又 ，所以 ，于是
．
…………………15分
14（B）．10个学生参加n个课外小组，每一个小组至多5个人，每两个学生至少参加某一个小组，任意两个课外小组，至少可以找到两个学生，他们都不在这两个课外小组中．证明：n的最小值为6．
证明：设10个学生为 ，n个课外小组为 ．
首先，每个学生至少参加两个课外小组．否则，若有一个学生只参加一个课外小组，设这个学生为 ，由于每两个学生都至少在某一小组内出现过，所以其它9个学生都与他在同一组出现，于是这一组就有10个人了，矛盾．
…………………5分
若有一学生恰好参加两个课外小组，不妨设 恰好参加 ，由题设，对于这两组，至少有两个学生，他们没有参加这两组，于是他们与 没有同过组，矛盾．
所以，每一个学生至少参加三个课外小组．于是n个课外小组 的人数之和不小于 ＝30．
另一方面，每一课外小组的人数不超过5，所以n个课外小组 的人数不超过5n，故
≥ ，
所以 ≥ ．
…………………10分
下面构造一个例子说明 是可以的．
， ， ，
， ， ．
容易验证，这样的6个课外小组满足题设条件．
所以，n的最小值为6．
…………………15分

不能
在19*19的棋盘上的交点为361，是奇数。所以放满黑子和白子的奇偶性是不同的，也就是说黑子数和白子数一定不同。所以不能将这些黑子全部移到原来白子的位置上，白子全部移到原来黑子的位置上。

不能
一共361个交叉点 黑白子数一定是一奇一偶 不可能相等 所以不能

不能。
19×19=361是奇数
也就是说黑子白子的数目必定不等
两者不能交换

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分宜县17135764860： 初中数学竞赛题,急~! - ？
毛宏枢丹： 1、解:设12个队为a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l 因为任意3队中有两队已比赛 可以先取每次都会抽中ab 则可以得到abc,abd,abe,abf,abg,abh,abi,abj,abk,abl 设a与c,d,e,f,g,h,i,j,k,l比赛过 则每次抽中ac,ad,ae,af,ag,ah,ai,aj,ak,al就不用再试了 同理可得可列出算式10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=(10+1)*10/2=55场2、我也认为第2题有问题,既然下面正方形边为3cm,则上面3根1cm火柴要衔接起来肯定会与下面那3个3cm的火柴棒一起构成一个正方形的 第3题ac+25bd=9根号下55是什么意思?

分宜县17135764860： 一道初二数学题,急.高额悬赏!事前提要:要写清楚怎么得来的.1.一个一次函数的图像是经过原点的直线,并且这条直线过第四象限及点(2, - 3a)与点(a,... - ？
毛宏枢丹：[答案] .一个一次函数的图像是经过原点的直线,并且这条直线过第四象限及点(2,-3a)与点(a,-6),求这个函数的解析式? 因为一次函数经过原点,所以设解析式是:y=kx,又直线过率四象限,说明:k

分宜县17135764860： 急求!一道初中数学竞赛题!50分再追. - ？
毛宏枢丹： 解:设10个学生为 ,n个课外小组为 . 首先,每个学生至少参加两个课外小组.否则,若有一个学生只参加一个课外小组,设这个学生为 ,由于每两个学生都至少在某一小组内出现过,...

分宜县17135764860： 初中数学竞赛题急 - ？
毛宏枢丹： 解:由a-(1/a)=1解得:a=(1±√5)/2 则a+1/a=(1±√5)/2+2/(1±√5)=±√5 a^2+1/a^2=(a+1/a)^2-2=5-2=3 a^4+1/a^4=(a^2+1/a^2)^2-2=9-2=7 a^6+1/a^6=(a^2+1/a^2)(a^4-1+1/a^4)=3*6=18 a^12+1/a^12=(a^6+1/a^6)^2-2=18^2-2=322 所以a^18+323*a^(-6)=a^18+a^(-6)+322a^(-6) =(a^6)(a^12+1/a^12)+322a^(-6)=322(a^6+1/a^6)=322*18=5796

分宜县17135764860： 求5道初中的数学竞赛题!急用？
毛宏枢丹： 1、若实数a,b满足ab-4a-b+1=0(a>1),则(a+1)(b+2)的最小值为 2、命题 在△ABC中,∠A=60度,P为△ABC所在平面上一点,且使得PA=6,PB=7,PC=8,求△ABC的最大面积. 3、请看这个网站:http://as.juren.com/chzhcompetitions/ 要多少有多少.

分宜县17135764860： 求下面的解方程题,初中数学!求速度!十万火急!今晚就要!求!有15题,悬赏20,好的在加10..急!解方程: (1) (y - 1)2 - 36=0; (2)25x² - 10x+1=9;(3)(x - ... - ？
毛宏枢丹：[答案] (1)y-1=36/2 y-1=18 y=19 (2)(5x-1)^2=3^2 5x-1=3 5x=4 x=4/5 (3)x-1=2x+3 x=-4

分宜县17135764860： 急!!一道初中数学竞赛题？
毛宏枢丹：证明:设圆AEF 与圆CED 交于点P 连接 PD、PE、PF ∴ ∠BFP = ∠AEP ∠BDP = ∠CEP ∵∠AEP + ∠CEP = 180° ∴∠BFP + ∠BDP = 180° ∴BDPF 四点共圆 故:三个圆交于一点P

分宜县17135764860： 初中数学竞赛题,今晚在线等!!急求!？
毛宏枢丹： x 3=x1+x2 x4=x 2+x 3=x1+2x2 x5=x 3+x4=2x1+3x2 x6=x4+x5=3x1+5x2 x7=x5+x6=5x1+8x2 x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7=13x1+20x2=2010 x1x2是自然数2010-13x1要能被20整除,且x1

分宜县17135764860： 求2道初中数学竞赛题目!急!？
毛宏枢丹： 1.假设会多出2人, 本题可以设人数为5n+2,则5n+2必须能拆成x(x+2)即x²+2x 则5n+2=x²+2x即5n=(x+1)²+3 若会多出,则(x+1)²的个位为2 对于(x+1)²:因为x+1为整数,其“平方的个位”为其“个位的平方后的个位”,而0,1,2,3,4,5...

分宜县17135764860： 初三数学竞赛题3？
毛宏枢丹： 答案是B,首先,面积最大的情况是a,b互为直角边,此时面积为ab/2.最小面积趋于0∵(a-b)²≥0,即a²+b²-2ab≥0;∴a²+b²即B的(a ^2+b^2)/2可以转化为a ^2+b^2)≥2ab/2≥ab; 所有B错.