什麼是实数系统;集合的概念及集合的运算,交集、并集、补集和 差集。伟恩 (Venn) 图。数学归纳
集合,在数学上是一个基础概念。什么叫基础概念?基础概念是不能用其他概念加以定义的概念。集合的概念,可通过直观、公理的方法来下“定义”。 集合
集合是把人们的直观的或思维中的某些确定的 能够区分的对象汇合在一起,使之成为一个整体(或 称为单体),这一整体就是集合。组成一集合的那些 对象称为这一集合的元素(或简称为元)。 现代数学还用“公理”来规定集合。最基本公理例如:
外延公理
对于任意的集合S1和S2,S1=S2当且仅当对于任意的对象a,都有若a∈S1,则a∈S2;若a∈S2,则a∈S1。
无序对集合存在公理
对于任意的对象a与b,都存在一个集合S,使得S恰有两个元素,一个是对象a,一个是对象b。由外延公理,由它们组成的无序对集合是唯一的,记做{a,b}。 由于a,b是任意两个对象,它们可以相等,也可以不相等。当a=b时,{a,b},可以记做{a}或{b},并且称之为单元集合。 空集合存在公理:存在一个集合,它没有任何元素。编辑本段数学术语
集合的概念
指定的某些对象的全体称为集合。
集合
一定范围的,确定的,可以区别的事物,当作一个整体来看待,就叫做集合,简称集,其中各事物叫做集合的元素或简称元。如(1)阿Q正传中出现的不同汉字(2)全体英文大写字母。任何集合是它自身的子集.一般的,把一些能够确定的不同的对象看成一个整体,就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集).构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员)。
元素与集合的关系
元素与集合的关系有“属于”与“不属于”两种。
集合与集合之间的关系
某些指定的对象集在一起就成为一个集合
集合符号
,含有有限个元素叫有限集,含有无限个元素叫无限集,空集是不含任何元素的集,记做Φ。空集是任何集合的子集,是任何非空集的真子集。任何集合是它本身的子集。子集,真子集都具有传递性。 『说明一下:如果集合 A 的所有元素同时都是集合 B 的元素,则 A 称作是 B 的子集,写作 A ? B。若 A 是 B 的子集,且 A 不等于 B,则 A 称作是 B 的真子集,一般写作 A ? B。 中学教材课本里将 ? 符号下加了一个 ≠ 符号(如右图), 不要混淆,考试时还是要以课本为准。 所有男人的集合是所有人的集合的真子集。』
集合
集合的几种运算法则
并集:以属于A或属于B的元素为元素的集合称为A与B的并(集),记作A∪B(或B∪A),读作“A并B”(或“B并A”),即A∪B={x|x∈A,或x∈B} 交集: 以属于A且属于B的元
差集表示
素为元素的集合称为A与B的交(集),记作A∩B(或B∩A),读作“A交B”(或“B交A”),即A∩B={x|x∈A,且x∈B} 例如,全集U={1,2,3,4,5} A={1,3,5} B={1,2,5} 。那么因为A和B中都有1,5,所以A∩B={1,5} 。再来看看,他们两个中含有1,2,3,5这些个元素,不管多少,反正不是你有,就是我有。那么说A∪B={1,2,3,5}。 图中的阴影部分就是A∩B。 有趣的是;例如在1到105中不是3,5,7的整倍数的数有多少个。结果是3,5,7每项减
集合
1再相乘。48个。 对称差集: 设A,B 为集合,A与B的对称差集AÅB定义为: AÅB=(A-B)∪(B-A) 例如:A={a,b,c},B={b,d},则AÅB={a,c,d} 对称差运算的另一种定义是: AÅB=(A∪B)-(A∩B) 无限集: 定义:集合里含有无限个元素的集合叫做无限集 有限集:令N*是正整数的全体,且N_n={1,2,3,……,n},如果存在一个正整数n,使得集合A与N_n一一对应,那么A叫做有限集合。 差:以属于A而不属于B的元素为元素的集合称为A与B的差(集)。记作:A\B={x│x∈A,x不属于B}。 注:空集包含于任何集合,但不能说“空集属于任何集合”. 补集:是从差集中引出的概念,指属于全集U不属于集合A的元素组成的集合称为集合A的补集,记作CuA,即CuA={x|x∈U,且x不属于A} 空集也被认为是有限集合。 例如,全集U={1,2,3,4,5} 而A={1,2,5} 那么全集有而A中没有的3,4就是CuA,是A的补集。CuA={3,4}。 在信息技术当中,常常把CuA写成~A。
集合
集合元素的性质
1.确定性:每一个对象都能确定是不是某一集合的元素,没有确定性就不能成为集合,例如“个子高的同学”“很小的数”都不能构成集合。这个性质主要用于判断一个集合是否能形成集合。 2.独立性:集合中的元素的个数、集合本身的个数必须为自然数。 3.互异性:集合中任意两个元素都是不同的对象。如写成{1,1,2},等同于{1,2}。互异性使集合中的元素是没有重复,两个相同的对象在同一个集合中时,只能算作这个集合的一个元素。 4.无序性:{a,b,c}{c,b,a}是同一个集合。 5.纯粹性:所谓集合的纯粹性,用个例子来表示。集合A={x|x<2},集合A 中所有的元素都要符合x<2,这就是集合纯粹性。 6.完备性:仍用上面的例子,所有符合x<2的数都在集合A中,这就是集合完备性。完备性与纯粹性是遥相呼应的。
集合
集合有以下性质
若A包含于B,则A∩B=A,A∪B=B
集合的表示方法
集合常用大写拉丁字母来表示,如:A,B,C…而对于集合中的元素则
集合
用小写的拉丁字母来表示,如:a,b,c…拉丁字母只是相当于集合的名字,没有任何实际的意义。 将拉丁字母赋给集合的方法是用一个等式来表示的,例如:A={…}的形式。等号左边是大写的拉丁字母,右边花括号括起来的,括号内部是具有某种共同性质的数学元素。 常用的有列举法和描述法。 1.列举法﹕常用于表示有限集合,把集合中的所有元素一一列举出来﹐写在大括号内﹐这种表示集合的方法叫做列举法。{1,2,3,……} 2.描述法﹕常用于表示无限集合,把集合中元素的公共属性用文字﹐符号或式子等描述出来﹐写在大括号内﹐这种表示集合的方法叫做描述法。{x|P}(x为该集合的元素的一般形式,P为这个集合的元素的共同属性)如:小于π的正实数组成的集合表示为:{x|0<x<π} 3.图示法(Venn图)﹕为了形象表示集合,我们常常画一条封闭的曲线(或者说圆圈),用它的内部表示一个集合。
集合
4.自然语言 常用数集的符号: (1)全体非负整数的集合通常简称非负整数集(或自然数集),记作N;不包括0的自然数集合,记作N* (2)非负整数集内排除0的集,也称正整数集,记作Z+;负整数集内也排除0的集,称负整数集,记作Z- (3)全体整数的集合通常称作整数集,记作Z (4)全体有理数的集合通常简称有理数集,记作Q。Q={p/q|p∈Z,q∈N,且p,q互质}(正负有理数集合分别记作Q+Q-) (5)全体实数的集合通常简称实数集,记作R(正实数集合记作R+;负实数记作R-) (6)复数集合计作C 集合的运算: 集合交换律 A∩B=B∩A A∪B=B∪A 集合结合律 (A∩B)∩C=A∩(B∩C) (A∪B)∪C=A∪(B∪C) 集合分配律 A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) 集合德.摩根律
集合
Cu(A∩B)=CuA∪CuB Cu(A∪B)=CuA∩CuB 集合“容斥原理” 在研究集合时,会遇到有关集合中的元素个数问题,我们把有限集合A的元素个数记为card(A)。例如A={a,b,c},则card(A)=3 card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B) card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(C∩A)+card(A∩B∩C) 1885年德国数学家,集合论创始人康托尔谈到集合一词,列举法和描述法是表示集合的常用方式。 集合吸收律 A∪(A∩B)=A A∩(A∪B)=A 集合求补律 A∪CuA=U A∩CuA=Φ 设A为集合,把A的全部子集构成的集合叫做A的幂集 德摩根律 A-(BUC)=(A-B)∩(A-C) A-(B∩C)=(A-B)U(A-C) ~(BUC)=~B∩~C ~(B∩C)=~BU~C ~Φ=E ~E=Φ 特殊集合的表示 复数集 C 实数集 R 正实数集 R+ 负实数集 R- 整数集 Z 正整数集 Z+ 负整数集 Z- 有理数集 Q 正有理数集 Q+ 负有理数集 Q- 不含0的有理数集 Q* 自然数集 N 不含0自然数集 N*
(一)集合
1.集合的含义与表示
(1)了解集合的含义,元素与集合的“属于”关系。
(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题。
2.集合间的基本关系
(1)理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集。
( 2)在具体情境中,了解全集与空集的含义。
3.集合的基本运算
(1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集。
(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集。
(3)能使用韦恩(Venn)图表达两个简单集合间的关系及运算。
(二)函数概念与基本初等函数I(指数函数、对数函数、幂函数)
1.函数
(1)了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念。
(2)在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数。
(3)了解简单的分段函数,并能简单应用。
(4)理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义;结合具体函数,了解函数奇偶性含义。
(5)会运用函数的图像理解和研究函数的性质。
2.指数函数
(1)了解指数函数模型的实际背景。
(2)理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算。
(3)理解指数函数的概念及其单调性,掌握指数函数图像通过的特殊点。
(4)知道指数函数是一类重要的函数模型。
3.对数函数
(1)理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用。
(2)理解对数函数的概念及其单调性,掌握对数函数图像通过的特殊点。
(3)知道对数函数是一类重要的函数模型。
(4)了解指数函数 ( ,且 )与对数函数 (a>0,且a 1)互为反函数。
4.幂函数
(1)了解幂函数的概念。
(2)结合函数 的图像,了解它们的变化情况,
5 .函数与方程
(1)结合二次函数的图像,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性与根的个数。
(2)根据具体函数的图象,能够用二分法求相应方程的近似解。
6.函数模型及其应用
(1)了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征,知道 直线上升、指数增长、对数增长等不同 函数类型增长的含义。
(2)了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用。
一定范围的、确定的、可区别的事物,当作一个整体来看待,就叫作集合,简称集,其中各事物叫作集合的元素或简称元。如果集合只含有有限个元素,便称为有穷集合,否则称为无穷集合。在上面的例中,前三个是有穷集合,后两个是无穷集合。
按照集合的定义,当一个集合的所有元素都已知时,这个集合就确定了。这时如果它是有穷集,便可将其元素全部列出,置于括弧之内来表示(什么顺序都无关系)。如①{北京、天津、上海},②{A,B,C,…,Z},对于③虽有困难,但原则上还是办得到的。但是,如果集合是无穷集,那么,上面的方法就行不通了。这时只好利用能够刻画所有元素x的某一性质 P(x)来加以概括。如例 ④中的集合可表示为{x|x 是自然数}。这种表示也适用于有穷集,如{北京、天津、上海}={x|x=北京或x=天津或x =上海}={x|x为中国现有直辖市}。一个集合可以没有任何元素,这种集合只有一个,叫作空集,通常用北欧字母∈集合
来记它。如果集合B的元素都是A的元素,就称B为A的子集,或A包含B,记为B嶅A 。例如,偶数全体嶅自然数全体。空集集合
被看作是任何集合的子集。任一集合A都是它自己的子集,即A嶅A 。A的异于自己的子集 B称为 A的真子集,记为B嶅集合
A 。两集合的相等(即含有同样的元素)可用包含关系来表达:A=B当且仅当 A嶅B且B嶅A 。包含关系还具备传递性:即由 A嶅B,B嶅C可得A嶅C。要注意的是,属于关系∈与包含关系嶅是有区别的:∈是元素对集合的关系,而嶅是集合对集合的关系。可以有集合
集合
,但集合
集合
不成立。
从任意两个集合A与B可以得到一些新的集合。以属于A或属于B的元素为元素的集合称为A与B的并(集),记为A∪B(A与B中的相同元素在并集中出现一次)。以属于A且属于B的元素为元素的集合称为A与B的交(集),记为A∩B。以属于A而不属于B 的元素为元素的集合称为A与B的差(集),记为A\B;特别,当B嶅A时,可记为CAB,称为B关于A的补(集)。例如A={0,1,3},B={0,3,5,10},则A∪B={0,1,3,5,10},A∩B={0,3},A\B={1}。并与交的运算分别服从交换律,结合律且共同服从分配律,即对任意的A,B,C,有 A∪B=B∪A,(A∪B)∪C=A∪(B∪C),
A∩B=B∩A,(A∩B)∩C=A∩(B∩C),
A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C),
A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)。
它们与差运算一起服从德·摩根定律: S\(A∪B)=(S\A)∩(S\B),
S\(A∩B)=(S\A)∪(S\B)。
这里S为任一集合,特别当S包含A与B时,有集合
,
集合
。
一个集合也可以以其他集合为元素。这就是所谓集合的集合,如上面例⑤就是一个集合的集合,如果把直线看做是点的集合的话。一个集合 A的所有子集组成的集合是一个很重要的集合的集合,称为A的幂集,记为P(A)。例如,当A={1,2,3}时,P(A)={集合
,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}。集合的集合是所谓集合族的特殊情形。一般而论,如果对于某一集合I(≠集合
)的每一个元素I∈I,都指定有一个确定的集合Ai,那么,这些Ai的全体就称为一个集合族,记为{Ai,i∈I}。例如,当I=N即自然数全体时,{Ai,I∈N}就是集合序列:A1,A2,A3,…。集合族的成员一般允许有重复,如果没有重复时,它就是一个集合的集合。对于集合族{Ai,I∈I},可定义它的并为{x|对某I∈I,x∈Ai},记为集合
。仿此,可定义它的交为{x|对一切I∈I,x∈Ai},记为集合
。特别当I={1,2,…,n}时,通常将并写成集合
,将交写成集合
;当n=2时,就是上面的A1∪A2和A1∩A2。当I=N时,通常将并写成集合
,将交写成集合
。两个对象α,b按一定次序(譬如α在前,b在后)排列起来,称为一个序对,记为<α,b>,α称为它的第一坐标,b称为第二坐标。两个序对<α,b>,<α′,b′>当且仅当 α= α′,b=b′即各坐标分别相等时,规定它们是相等的。因此,除非α=b,<α,b>≠<b, α>。也可直接定义<α,b>为{{α},{α,b}},虽不大自然,却很精确。同样可定义一般的有序n组。设A,B为两个集合,从A,B中各取一个元素α,b所作序对<α,b>的全体组成一个集合,即{<α,b>|α∈A且b∈B},它称为A与B(按这次序)的直积或笛卡儿积,记为A×B。直积概念也可从两个因子推广到n个因子,A1×A2×…×An,记为集合
,特别当各Ai均等于A时,称为A的n次直幂,记为A,它相当于所有从{0,1,…,n-1}到A的映射全体组成的集。推而广之,所有从B到A的映射全体组成的集可以记为A
如果关於x的方程x^2+px+1=0的一个根为√2+1,那麼实数k的值等於
x^2+px+1=0 x=[-p±√(p^2-4)]\/2 [-p±√(p^2-4)]\/2=√2+1 ±√(p^2-4)=2√2+2+p p^2-4=(2√2+2)^2+2(2√2+2)p+p^2 -4=8+8√2+4+(4√2+4)p p=-(16+8√2)\/(4+4√2)=-(4+2√2)\/(1+√2)=-2√2 ...
怎麼学好数学
初二、初三我们还将看到数轴上的点与实数之间的一一对应,直角坐标平面上的点与一对有序实数之间的一一对应,函数与其图象之间的对应。“对应”的思想在今后的学习中将会发挥越来越大的作用。三、自学能力的培养是深化学习的必由之路 在学习新概念、新运算时,老师们总是通过已有知识自然而然过渡到新知识,水到渠成,...
若2A-1除以5小於A加2除以3,那麼实数A的取值围
(2A-1)\/5<(A+2)\/3 3(2A-1)<5(A+2)6A-3<5A+10 A<13
...实数a,b,都有f(a+b)=f(a)f(b);x>0时,f(x)>1.那麼
(1)y=a^x,(a>0,且a不=1),即指数函数.(2)令 a>0 ,b=0 ,则有 f(a)=f(a)*f(0) ,因为 f(a)>1 故而 f(0)=1 2、假设a>b>0 ,f(a)=f(b+(a\/b-1))=f(b)*f(a\/b-1) ,因为 a>b>0 所以 a\/b-1>0 进而有 f(a\/b-1)>1 ,于是有 f(a)=f(b)*f(a\/b-...
三角函数是指甚麼?有甚麼概念,定理?
三角函数(Trigonometric)是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的,其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中,但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解,将其...
...变式若对一切a属於[-3,3],不等式f(x)≥a恒成立,那麼实数x_百度...
有题目可知其对称轴为X=-a\/2 ,开口朝上 当-a\/2<=-3时,F(-3)最小,即F(-3)>=a 9-3a+3>=a 解得a<=3 又因为有-a\/2<=-3得a>=6所以无解.当-3<-a\/2<3时F(-a\/2)最小,即f(-a\/2)>=a a^2\/4-a^2\/2+3>=a -a^2+12>=4a a^2+4a-12<=0 (a+6)(a-2)<...
若a,b为正实数时,√-a *√-b为什麼等於-√ab而不是√ab?负负不是得正...
郭敦顒回答:√-a *√-b,根号“√“上面没有横线不知根号到哪个位置,为免此不足应加括号,以此法表达就准确而免岐义了。∴√-a *√-b写为[√(-a)]*√(-b ),√(-a)与√(-b )都是虚数,√(-a)=(√a)•√(-1)=(√a)i √(-b)=(√b)•...
sin三角形的三边关系公式是什麼?
三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的函数。它们的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中,但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解,将其定义扩展到复数系。...
初二数学没学好,现在该怎麼学?
教你多得分小技巧 :考试时草稿一定要认真有序的写,不要写乱,这便于你检查时少花时间,这对于填空题和选择题特别有用。 首先要申明:任何一门学问都没有速成的法门,都要靠一分汗水才有一分收获。我所能做的只是叫你少走点弯路而已,也仅此而已,望好自为之。关于怎样学数学我看了很多网上对...
相反数,自然数是甚麼?
相反数(opposite number)(互为)相反数的代数意义 和是0的两个数互为相反数。0的相反数还是0。1、只有符号不同的两个数称互为相反数。a和-a是一对互为相反数,a叫做-a的相反数,-a叫做a的相反数。注意:-a不一定是负数。a不一定是正数。(a不等于0)2、若两个实数a和b满足b=﹣a。我们...
栾径斑蝥: 实数,是有理数和无理数的总称,其中无理数就是无限不循环小数,有理数就包括整数和分数.数学上,实数定义为与数轴上点相对应的数.实数和虚数共同构成复数....
荆州区15396194857: 实数集合是什么 - ?
栾径斑蝥: 就是全部实数
荆州区15396194857: 什么是实数集??
栾径斑蝥: 实数集 通俗地认为,包含所有有理数和无理数的集合就是实数集. 18世纪,微积分学在实数的基础上发展起来.但当时的实数集并没有精确的定义.直到1871年,德国数学家康托尔第一次提出了实数的严格定义.定义是由四组公理为基础的: ...
荆州区15396194857: 实数的概念及分类? - ?
栾径斑蝥: 实数,是有理数和无理数的总称.数学上,实数定义为与数轴上的实数,点相对应的数.实数可以直观地看作有限小数与无限小数,实数和数轴上的点一一对应.但仅仅以列举的方式不能描述实数的整体.实数和虚数共同构成复数. 实数可以分...
荆州区15396194857: 什么是有理数;实数;集合 - ?
栾径斑蝥: 有理数是整数和分数的统称,一切有理数都可以化成分数的形式. 包括有理数和无理数.其中无理数就是无限不循环小数,有理数就包括整数和分数.数学上,实数直观地定义为和数轴上的点一一对应的数.本来实数仅称作数,后来引入了虚数概念,原本的数称作“实数”——意义是“实在的数”. 集合是具有某种特定性质的事物的总体. 这里的“事物”可以是人,物品,也可以是数学元素.例如: 1、分散的人或事物聚集到一起;使聚集:紧急~. 2、数学名词.一组具有某种共同性质的数学元素:有理数的~. 3、口号等等.集合在数学概念中有好多概念,如集合论:集合是现代数学的基本概念,专门研究集合的理论叫做集合论
荆州区15396194857: 集合是什么 - ?
栾径斑蝥: 集合是具有某种特定性质的事物的总体.简单地讲,就是具有共同特性的一类事物的全体.如全体有理数构成有理数集合,0和全体正数构成非负数集合,全体有理数和全体无理数构成实数集合,…….
荆州区15396194857: 谁帮我整理一下集合的概念?谢谢! - ?
栾径斑蝥: (一)有关概念:1、集合的概念 (1)对象:我们可以感觉到的客观存在以及我们思想中的事物或抽象符号,都可以称作对象.(2)集合:把一些能够确定的不同的对象看成一个整体,就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合.(3)元素:...
荆州区15396194857: 自然数,正整数,整数,有理数,无理数,实数的概念分别是什么? - ?
栾径斑蝥: 自然数,非负整数集合; 正整数 1,2,3……数列组成的集合; 整数 自然数,负整数的集合; 有理数 可表示为分数的数的集合; 无理数 不可表示为分数的无限不循环小数的集合; 实数 有理数,无理数的集合. 有理数 是整数(正整数、0、负整数)和分数的统称,是整数和分数的集合. 整数也可看做是分母为一的分数.不是有理数的实数称为无理数,即无理数的小数部分是无限不循环的数.是“数与代数”领域中的重要内容之一,在现实生活中有广泛的应用,是继续学习实数、代数式、方程、不等式、直角坐标系、函数、统计等数学内容以及相关学科知识的基础.
荆州区15396194857: 什么是实数集 - ?
栾径斑蝥: 实数集定义为实数的集合 包括有理数和无理数
荆州区15396194857: 实数集指的是什么 - ?
栾径斑蝥: 包含所有有理数和无理数的集合就是实数集