什麼是实数系统;集合的概念及集合的运算,交集、并集、补集和 差集。伟恩 (Venn) 图。数学归纳

在集合中那些符号的名称是什么？含义是什么？~

集合，在数学上是一个基础概念。什么叫基础概念？基础概念是不能用其他概念加以定义的概念。集合的概念，可通过直观、公理的方法来下“定义”。 集合
　　集合是把人们的直观的或思维中的某些确定的 　　能够区分的对象汇合在一起，使之成为一个整体(或 　　称为单体)，这一整体就是集合。组成一集合的那些 　　对象称为这一集合的元素(或简称为元)。 　　现代数学还用“公理”来规定集合。最基本公理例如：
外延公理
　　对于任意的集合S1和S2，S1=S2当且仅当对于任意的对象a，都有若a∈S1，则a∈S2；若a∈S2，则a∈S1。
无序对集合存在公理
　　对于任意的对象a与b，都存在一个集合S，使得S恰有两个元素，一个是对象a，一个是对象b。由外延公理，由它们组成的无序对集合是唯一的，记做{a，b}。 由于a，b是任意两个对象，它们可以相等，也可以不相等。当a=b时，{a，b}，可以记做{a}或{b}，并且称之为单元集合。 　　空集合存在公理：存在一个集合，它没有任何元素。编辑本段数学术语
集合的概念
　　指定的某些对象的全体称为集合。
集合
一定范围的，确定的，可以区别的事物，当作一个整体来看待，就叫做集合，简称集，其中各事物叫做集合的元素或简称元。如（1）阿Q正传中出现的不同汉字（2）全体英文大写字母。任何集合是它自身的子集.一般的，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）.构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）。
元素与集合的关系
　　元素与集合的关系有“属于”与“不属于”两种。
集合与集合之间的关系
　　某些指定的对象集在一起就成为一个集合
集合符号
，含有有限个元素叫有限集，含有无限个元素叫无限集，空集是不含任何元素的集，记做Φ。空集是任何集合的子集，是任何非空集的真子集。任何集合是它本身的子集。子集，真子集都具有传递性。 　　『说明一下：如果集合 A 的所有元素同时都是集合 B 的元素，则 A 称作是 B 的子集，写作 A ? B。若 A 是 B 的子集，且 A 不等于 B，则 A 称作是 B 的真子集，一般写作 A ? B。 中学教材课本里将 ? 符号下加了一个 ≠ 符号（如右图）， 不要混淆，考试时还是要以课本为准。 　　所有男人的集合是所有人的集合的真子集。』
集合
集合的几种运算法则
　　并集：以属于A或属于B的元素为元素的集合称为A与B的并（集），记作A∪B（或B∪A），读作“A并B”（或“B并A”），即A∪B={x|x∈A,或x∈B} 　　交集： 以属于A且属于B的元
差集表示
素为元素的集合称为A与B的交（集），记作A∩B（或B∩A），读作“A交B”（或“B交A”），即A∩B={x|x∈A,且x∈B} 　　例如，全集U={1，2，3，4，5} A={1，3，5} B={1，2，5} 。那么因为A和B中都有1,5，所以A∩B={1，5} 。再来看看，他们两个中含有1,2,3,5这些个元素，不管多少，反正不是你有，就是我有。那么说A∪B={1，2，3，5}。 图中的阴影部分就是A∩B。 有趣的是；例如在1到105中不是3，5，7的整倍数的数有多少个。结果是3，5，7每项减
集合
1再相乘。48个。 　　对称差集： 　　设A,B 为集合，A与B的对称差集AÅB定义为： 　　AÅB=（A-B）∪(B-A) 　　例如：A={a,b,c},B={b,d},则AÅB={a,c,d} 　　对称差运算的另一种定义是: 　　AÅB=（A∪B）-(A∩B) 　　无限集： 定义：集合里含有无限个元素的集合叫做无限集 　　有限集：令N*是正整数的全体，且N_n={1，2，3，……，n},如果存在一个正整数n，使得集合A与N_n一一对应，那么A叫做有限集合。 　　差：以属于A而不属于B的元素为元素的集合称为A与B的差（集）。记作：A\B={x│x∈A,x不属于B}。 　　注:空集包含于任何集合，但不能说“空集属于任何集合”.　补集：是从差集中引出的概念，指属于全集U不属于集合A的元素组成的集合称为集合A的补集，记作CuA，即CuA={x|x∈U,且x不属于A} 　　空集也被认为是有限集合。 　　例如，全集U={1，2，3，4，5} 而A={1，2，5} 那么全集有而A中没有的3，4就是CuA，是A的补集。CuA={3，4}。 　　在信息技术当中，常常把CuA写成~A。
集合
集合元素的性质
　　1.确定性：每一个对象都能确定是不是某一集合的元素，没有确定性就不能成为集合，例如“个子高的同学”“很小的数”都不能构成集合。这个性质主要用于判断一个集合是否能形成集合。 　　2.独立性：集合中的元素的个数、集合本身的个数必须为自然数。 　　3.互异性：集合中任意两个元素都是不同的对象。如写成{1，1，2}，等同于{1，2}。互异性使集合中的元素是没有重复，两个相同的对象在同一个集合中时，只能算作这个集合的一个元素。 　　4.无序性：{a,b,c}{c,b,a}是同一个集合。 　　5.纯粹性：所谓集合的纯粹性，用个例子来表示。集合A={x|x<2}，集合A 中所有的元素都要符合x<2，这就是集合纯粹性。 　　6.完备性：仍用上面的例子，所有符合x<2的数都在集合A中，这就是集合完备性。完备性与纯粹性是遥相呼应的。
集合
集合有以下性质
　　若A包含于B，则A∩B=A，A∪B=B
集合的表示方法
　　集合常用大写拉丁字母来表示，如：A，B，C…而对于集合中的元素则
集合
用小写的拉丁字母来表示，如：a,b,c…拉丁字母只是相当于集合的名字，没有任何实际的意义。 将拉丁字母赋给集合的方法是用一个等式来表示的，例如：A={…}的形式。等号左边是大写的拉丁字母，右边花括号括起来的，括号内部是具有某种共同性质的数学元素。 　　常用的有列举法和描述法。 　　1.列举法﹕常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一列举出来﹐写在大括号内﹐这种表示集合的方法叫做列举法。{1，2，3，……} 　　2.描述法﹕常用于表示无限集合，把集合中元素的公共属性用文字﹐符号或式子等描述出来﹐写在大括号内﹐这种表示集合的方法叫做描述法。{x|P}（x为该集合的元素的一般形式，P为这个集合的元素的共同属性）如：小于π的正实数组成的集合表示为：{x|0<x<π} 　　3.图示法（Venn图）﹕为了形象表示集合，我们常常画一条封闭的曲线（或者说圆圈），用它的内部表示一个集合。
集合
4.自然语言 　　常用数集的符号： 　　（1）全体非负整数的集合通常简称非负整数集（或自然数集），记作N；不包括0的自然数集合，记作N* 　　（2）非负整数集内排除0的集，也称正整数集，记作Z+；负整数集内也排除0的集，称负整数集，记作Z- 　　（3）全体整数的集合通常称作整数集，记作Z 　　（4）全体有理数的集合通常简称有理数集，记作Q。Q={p/q|p∈Z，q∈N,且p,q互质}(正负有理数集合分别记作Q+Q-) 　　（5）全体实数的集合通常简称实数集，记作R（正实数集合记作R+；负实数记作R-） 　　（6）复数集合计作C 　　集合的运算： 　　集合交换律 　　A∩B=B∩A 　　A∪B=B∪A 　　集合结合律 　　(A∩B)∩C=A∩(B∩C) 　　(A∪B)∪C=A∪(B∪C) 　　集合分配律 　　A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) 　　A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) 　　集合德.摩根律
集合
Cu(A∩B)=CuA∪CuB 　　Cu(A∪B)=CuA∩CuB 　　集合“容斥原理” 　　在研究集合时，会遇到有关集合中的元素个数问题，我们把有限集合A的元素个数记为card(A)。例如A={a,b,c}，则card(A)=3 　　card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B) 　　card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(C∩A)+card(A∩B∩C) 　　1885年德国数学家，集合论创始人康托尔谈到集合一词，列举法和描述法是表示集合的常用方式。 　　集合吸收律 　　A∪(A∩B)=A 　　A∩(A∪B)=A 　　集合求补律 　　A∪CuA=U 　　A∩CuA=Φ 　　设A为集合，把A的全部子集构成的集合叫做A的幂集 　　德摩根律 A-(BUC)=（A-B)∩(A-C) 　　A-(B∩C)=（A-B)U(A-C) 　　～（BUC)=~B∩~C 　　～（B∩C)=~BU~C 　　~Φ=E ~E=Φ 　　特殊集合的表示 　　复数集 C 　　实数集 R 　　正实数集 R+ 　　负实数集 R- 　　整数集 Z 　　正整数集 Z+ 　　负整数集 Z- 　　有理数集 Q 　　正有理数集 Q+ 　　负有理数集 Q- 　　不含0的有理数集 Q* 　　自然数集 N 　　不含0自然数集 N*

（一）集合
1.集合的含义与表示
（1）了解集合的含义，元素与集合的“属于”关系。
（2）能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题。
2.集合间的基本关系
（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。
（ 2）在具体情境中，了解全集与空集的含义。
3.集合的基本运算
（1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。
（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集。
（3）能使用韦恩（Venn）图表达两个简单集合间的关系及运算。
（二）函数概念与基本初等函数I（指数函数、对数函数、幂函数）
1.函数
（1）了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念。
(2)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数。
(3)了解简单的分段函数，并能简单应用。
(4)理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性含义。
(5)会运用函数的图像理解和研究函数的性质。
2．指数函数
(1)了解指数函数模型的实际背景。
(2)理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。
(3)理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点。
(4)知道指数函数是一类重要的函数模型。
3．对数函数
(1)理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用。
(2)理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点。
(3)知道对数函数是一类重要的函数模型。
(4)了解指数函数 ( ，且 )与对数函数 (a>0，且a 1)互为反函数。
4．幂函数
(1)了解幂函数的概念。
(2)结合函数 的图像，了解它们的变化情况，
5 ．函数与方程
（1）结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数。
（2）根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解。
6.函数模型及其应用
(1)了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，知道 直线上升、指数增长、对数增长等不同 函数类型增长的含义。
(2)了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用。

实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类，或正实数，负实数和零三类。有理数可以分成整数和分数，而整数可以分为正整数、零和负整数。分数可以分为正分数和负分数。无理数可以分为正无理数和负无理数。实数集合通常用字母 R 或 R^n 表示。而R^n 表示 n 维实数空间。实数是不可数的。实数是实分析的核心研究对象。在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后 n 位，n 为正整数，包括整数）。在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数来表示。在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大。
一定范围的、确定的、可区别的事物，当作一个整体来看待，就叫作集合，简称集，其中各事物叫作集合的元素或简称元。如果集合只含有有限个元素，便称为有穷集合，否则称为无穷集合。在上面的例中，前三个是有穷集合，后两个是无穷集合。
按照集合的定义，当一个集合的所有元素都已知时，这个集合就确定了。这时如果它是有穷集，便可将其元素全部列出，置于括弧之内来表示(什么顺序都无关系)。如①｛北京、天津、上海｝，②｛A,B,C,…,Z｝，对于③虽有困难，但原则上还是办得到的。但是，如果集合是无穷集，那么，上面的方法就行不通了。这时只好利用能够刻画所有元素x的某一性质 P(x)来加以概括。如例 ④中的集合可表示为｛x｜x 是自然数｝。这种表示也适用于有穷集，如｛北京、天津、上海｝=｛x｜x=北京或x=天津或x =上海｝=｛x｜x为中国现有直辖市｝。一个集合可以没有任何元素，这种集合只有一个，叫作空集,通常用北欧字母∈集合
来记它。如果集合B的元素都是A的元素,就称B为A的子集,或A包含B,记为B嶅A 。例如，偶数全体嶅自然数全体。空集集合
被看作是任何集合的子集。任一集合A都是它自己的子集,即A嶅A 。A的异于自己的子集 B称为 A的真子集,记为B嶅集合
A 。两集合的相等（即含有同样的元素）可用包含关系来表达:A=B当且仅当 A嶅B且B嶅A 。包含关系还具备传递性：即由 A嶅B,B嶅C可得A嶅C。要注意的是,属于关系∈与包含关系嶅是有区别的：∈是元素对集合的关系，而嶅是集合对集合的关系。可以有集合
集合
，但集合
集合
不成立。
从任意两个集合A与B可以得到一些新的集合。以属于A或属于B的元素为元素的集合称为A与B的并(集)，记为A∪B（A与B中的相同元素在并集中出现一次）。以属于A且属于B的元素为元素的集合称为A与B的交(集)，记为A∩B。以属于A而不属于B 的元素为元素的集合称为A与B的差（集），记为A\B；特别,当B嶅A时,可记为CAB，称为B关于A的补（集）。例如A=｛0,1,3｝,B=｛0,3,5,10｝，则A∪B＝｛0,1,3,5,10｝,A∩B={0,3},A\B={1}。并与交的运算分别服从交换律，结合律且共同服从分配律，即对任意的A，B，C，有 A∪B=B∪A，(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，
A∩B=B∩A，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)，
A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)，
A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)。
它们与差运算一起服从德·摩根定律： S\(A∪B)=(S\A)∩(S\B)，
S\(A∩B)=(S\A)∪(S\B)。
这里S为任一集合，特别当S包含A与B时，有集合
,
集合
。
一个集合也可以以其他集合为元素。这就是所谓集合的集合，如上面例⑤就是一个集合的集合，如果把直线看做是点的集合的话。一个集合 A的所有子集组成的集合是一个很重要的集合的集合，称为A的幂集,记为P(A)。例如,当A=｛1,2,3｝时，P(A)={集合
,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}。集合的集合是所谓集合族的特殊情形。一般而论,如果对于某一集合I(≠集合
)的每一个元素I∈I，都指定有一个确定的集合Ai，那么，这些Ai的全体就称为一个集合族,记为{Ai,i∈I}。例如,当I=N即自然数全体时,{Ai,I∈N}就是集合序列：A1,A2,A3,…。集合族的成员一般允许有重复，如果没有重复时，它就是一个集合的集合。对于集合族{Ai,I∈I},可定义它的并为｛x｜对某I∈I,x∈Ai｝，记为集合
。仿此,可定义它的交为｛x｜对一切I∈I，x∈Ai｝,记为集合
。特别当I=｛1,2,…,n｝时，通常将并写成集合
,将交写成集合
；当n=2时，就是上面的A1∪A2和A1∩A2。当I=N时，通常将并写成集合
，将交写成集合
。两个对象α，b按一定次序（譬如α在前,b在后）排列起来,称为一个序对，记为<α,b>，α称为它的第一坐标,b称为第二坐标。两个序对<α,b>，<α′,b′>当且仅当 α= α′,b=b′即各坐标分别相等时，规定它们是相等的。因此,除非α=b,<α,b>≠<b, α>。也可直接定义<α,b>为｛｛α｝,｛α,b｝｝,虽不大自然,却很精确。同样可定义一般的有序n组。设A，B为两个集合，从A，B中各取一个元素α，b所作序对<α,b>的全体组成一个集合,即｛<α,b>｜α∈A且b∈B｝,它称为A与B（按这次序）的直积或笛卡儿积，记为A×B。直积概念也可从两个因子推广到n个因子，A1×A2×…×An，记为集合
，特别当各Ai均等于A时，称为A的n次直幂,记为A，它相当于所有从｛0,1,…,n-1｝到A的映射全体组成的集。推而广之，所有从B到A的映射全体组成的集可以记为A

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荆州区15396194857： 实数的概念是什么?？
栾径斑蝥： 实数,是有理数和无理数的总称,其中无理数就是无限不循环小数,有理数就包括整数和分数.数学上,实数定义为与数轴上点相对应的数.实数和虚数共同构成复数....

荆州区15396194857： 实数集合是什么 - ？
栾径斑蝥： 就是全部实数

荆州区15396194857： 什么是实数集?？
栾径斑蝥： 实数集 通俗地认为,包含所有有理数和无理数的集合就是实数集. 18世纪,微积分学在实数的基础上发展起来.但当时的实数集并没有精确的定义.直到1871年,德国数学家康托尔第一次提出了实数的严格定义.定义是由四组公理为基础的: ...

荆州区15396194857： 实数的概念及分类? - ？
栾径斑蝥： 实数,是有理数和无理数的总称.数学上,实数定义为与数轴上的实数,点相对应的数.实数可以直观地看作有限小数与无限小数,实数和数轴上的点一一对应.但仅仅以列举的方式不能描述实数的整体.实数和虚数共同构成复数. 实数可以分...

荆州区15396194857： 什么是有理数;实数;集合 - ？
栾径斑蝥： 有理数是整数和分数的统称,一切有理数都可以化成分数的形式. 包括有理数和无理数.其中无理数就是无限不循环小数,有理数就包括整数和分数.数学上,实数直观地定义为和数轴上的点一一对应的数.本来实数仅称作数,后来引入了虚数概念,原本的数称作“实数”——意义是“实在的数”. 集合是具有某种特定性质的事物的总体. 这里的“事物”可以是人,物品,也可以是数学元素.例如: 1、分散的人或事物聚集到一起;使聚集:紧急~. 2、数学名词.一组具有某种共同性质的数学元素:有理数的~. 3、口号等等.集合在数学概念中有好多概念,如集合论:集合是现代数学的基本概念,专门研究集合的理论叫做集合论

荆州区15396194857： 集合是什么 - ？
栾径斑蝥： 集合是具有某种特定性质的事物的总体.简单地讲,就是具有共同特性的一类事物的全体.如全体有理数构成有理数集合,0和全体正数构成非负数集合,全体有理数和全体无理数构成实数集合,…….

荆州区15396194857： 谁帮我整理一下集合的概念?谢谢! - ？
栾径斑蝥： (一)有关概念:1、集合的概念 (1)对象:我们可以感觉到的客观存在以及我们思想中的事物或抽象符号,都可以称作对象.(2)集合:把一些能够确定的不同的对象看成一个整体,就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合.(3)元素:...

荆州区15396194857： 自然数,正整数,整数,有理数,无理数,实数的概念分别是什么? - ？
栾径斑蝥： 自然数,非负整数集合; 正整数 1,2,3……数列组成的集合; 整数 自然数,负整数的集合; 有理数 可表示为分数的数的集合; 无理数 不可表示为分数的无限不循环小数的集合; 实数 有理数,无理数的集合. 有理数 是整数(正整数、0、负整数)和分数的统称,是整数和分数的集合. 整数也可看做是分母为一的分数.不是有理数的实数称为无理数,即无理数的小数部分是无限不循环的数.是“数与代数”领域中的重要内容之一,在现实生活中有广泛的应用,是继续学习实数、代数式、方程、不等式、直角坐标系、函数、统计等数学内容以及相关学科知识的基础.

荆州区15396194857： 什么是实数集 - ？
栾径斑蝥： 实数集定义为实数的集合 包括有理数和无理数

荆州区15396194857： 实数集指的是什么 - ？
栾径斑蝥： 包含所有有理数和无理数的集合就是实数集