【高一数学题 没学过导数 求详细过程】已知函数f(x)满足f(x)=2f(1/x)，当x∈[1，3]时，f（x）=lnx

高中导数题 已知函数f（x）满足f（x）＝2f（1/x），当x∈[1，3]时，f（x）＝~

解：由题意
当x∈[1/3，1]函数f(x)=-2lnx >=0
当x∈[1，3]函数f(x)=lnx>=0
要使g(x)有三个不同的0点，则a>0.

当x∈[1/3，1]g(x)=-2lnx-ax g'(x)=-2/x-a <0
g(x)单调递减，要使有0点，必须
g(1/3)=2ln3-a/3>0 a<6ln3
g(1)=-a0,显然成立）
此区间只有一个0点。
此时a<6ln3

当x∈[1，3]g(x)=lnx-ax g'(x)=1/x-a
此区间要保证两个0点
则g(1)<=0 g(3)<=0
g(1)=ln1-a*1=-a<0(显然成立）
g(3)=ln3-3a<=0
a>=ln3/3
令g'(x)=0时g(x)>0(极点大于0）
g'(x)=(lnx-ax)'=1/x-a=0
x=1/a
g(1/a)=ln(1/a)-a*(1/a)>0
-lna>1
a<1/e
于是 ln3/3<=a<1/e

综上所述，a∈[ln3/3，1/e)

望学习后点采纳，谢谢
注意题中有个条件f(x)=2f(1/x)，既然x在[1,3]为lnx将x变成1/x
可以得出f(x)在[1/3,1]的函数式为：f(x)=2f(1/x)=2ln(1/x)=-2lnx

令f(x)中的x为-x，就得到了第二个式子。

当x∈[1/3，1]函数f(x)=-2lnx >=0
当x∈[1，3]函数f(x)=lnx>=0
要使g(x)有三个不同的0点，则a>0.

当x∈[1/3，1]g(x)=-2lnx-ax g'(x)=-2/x-a <0
g(x)单调递减，要使有0点，必须
g(1/3)=2ln3-a/3>0 a<6ln3
g(1)=-a<0（因为a>0,显然成立）
此区间只有一个0点。
此时a<6ln3

当x∈[1，3]g(x)=lnx-ax g'(x)=1/x-a
此区间要保证两个0点
则g(1)<=0 g(3)<=0
g(1)=ln1-a*1=-a<0(显然成立）
g(3)=ln3-3a<=0
a>=ln3/3
令g'(x)=0时g(x)>0(极点大于0）
g'(x)=(lnx-ax)'=1/x-a=0
x=1/a
g(1/a)=ln(1/a)-a*(1/a)>0
-lna>1
a<1/e
于是 ln3/3<=a<1/e
所以选C啊

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