物理知道运动方程求轨迹方程的求法
将运动方程变为轨迹方程的过程:
1、运动方程的表达式为r=r(t),在二维坐标系上一般表示为:r(t)=x(t)i+y(t)j。
2、质点的轨道方程,表示的是质点运动的曲线方程,表达式为:y=f(x)。
3、在运动方程的分量式中,消去时间t得f(x、y、z)=0,此方程称为质点的轨迹方程。
二者的区别主要有:
1、轨迹方程是x和y的函数,运动方程是x与t的函数。
2、质点的运动方程和轨迹方程可以互相转换。
3、运动方程可以看做向量,轨迹方程可以看出是函数关系。
扩展资料:
关于运动方程求轨迹方程的求法:
1、定义法
若动点在运动时满足的条件符合某种已知曲线的定义,则可以设出其轨迹的标准方程,然后利用待定系数法求出其轨迹方程.这种求轨迹方程的方法称为定义法,利用定义法求轨迹方程要熟知常见曲线的定义、特征。
2、代入法
若所求轨迹上的动点p(x,y)与另一个已知轨迹(曲线)c:f(x,y)=0上的动点q(x1,y1)存在着某种联系,则可以把点q的坐标用点p的坐标表示出来,然后代入曲线c的方程f(x,y)=0中并化简,即得动点p轨迹方程。
3、参数法
根据题设条件,用一个参数分别表示出动点(x,y)的坐标x和y,或列出两个含同一个参数的动点(x,y)的坐标x和y之间的关系式,这样就间接地把x和y联系起来了,然后联立这两个等式并消去参数,即可得到动点的轨迹方程.这种求轨迹的方法称为参数法。
参考资料来源:百度百科-轨迹方程
参考资料来源:百度百科-运动方程
利用cos和sin的关系就可以了。对于第一个两边同时除以(1+a),第二个同时初一(1-a),然后对于两个式子都平方处理,然后两式相加就可以了
求动点的轨迹方程要根据题设条件灵活地选择方法.常用的方法有两大类,一类是直接求法,包括利用圆锥曲线的定义等;另一类是间接求法,主要包括相关点法和参数法.一、 直接法
一般情况下,动点在运动时,总是满足一定的条件的(即动中有静,变中有不变),可设动点的坐标为(x,y),然后选择适当的公式(如两点间的距离公式,点到直线的距离公式,两点连线的斜率公式,两直线(向量)的夹角公式,定比分点坐标公式,三角形面积公式等),或一些包含等量关系的定理、定义等,将题设条件转化成x,y之间的关系式(等式),从而得到动点的轨迹方程.这种求轨迹方程的方法称为直接法.
例1 已知定点a(-1,0),b(2,0),动点m满足2∠mab=∠mba,求点m的轨迹方程.
解析 直接设点m为(x,y),先将2∠mab=∠mba转化成直线ma,mb的斜率的关系式,便可得点m的轨迹方程.
设∠mab=α,则∠mba=2α,显然0≤α<90°.
(1) 当2α≠90°时,
若m点在x轴上方,
则有tanα=kma=yx+1,tan(π-2α)=kmb=yx-2.
若点m在x轴下方,则有tan(π-α)=kma=yx+1,tan2α=kmb=yx-2.
于是总有-yx-2=2y1+x1-y2(1+x)2,注意到|ma|>|mb|,可得x2-y23=1(x≥1).
若点m在x轴上,则点m为线段ab上的点,所以有y=0(-1<x<2).
(2) 当2α=90°时,△mab为等腰直角三角形,点m为(2,±3).
综上,点m的轨迹方程为x2-y23=1(x≥1)或y=0(-1<x<2=.
二、 定义法
若动点在运动时满足的条件符合某种已知曲线的定义,则可以设出其轨迹的标准方程,然后利用待定系数法求出其轨迹方程.这种求轨迹方程的方法称为定义法,利用定义法求轨迹方程要熟知常见曲线的定义、特征.
例2 设动点p到点a(-1,0)和b(1,0)的距离分别为d1,d2(d1d2≠0),∠apb=2θ.若存在常数λ(0<λ<1),使得d1d2sin2θ=λ恒成立.
证明:动点p的轨迹c为双曲线,并求出c的方程.
解析 ,在△pab中,|ab|=2.
由余弦定理,可得22=d21+d22-2d1d2cos2θ,即4=(d1-d2)2+4d1d2sin2θ,
又d1d2sin2θ=λ(常数),0<λ<1,
则有|d1-d2|
=4-4d1d2sin2θ=21-λ(常数)<2=|ab|,
所以点p的轨迹c是以a,b为焦点,实轴长2a=21-λ的双曲线,
从而a=1-λ,c=1,故b2=c2-a2=λ,
则c的方程为x21-λ-y2λ=1.
三、 代入法
若所求轨迹上的动点p(x,y)与另一个已知轨迹(曲线)c:f(x,y)=0上的动点q(x1,y1)存在着某种联系,则可以把点q的坐标用点p的坐标表示出来,然后代入曲线c的方程f(x,y)=0中并化简,即得动点p轨迹方程.这种求轨迹方程的方法叫做代入法(又称相关点法).
例3 已知定点a(4,0)和曲线c:x2+y2=4上的动点b,点p分ab之比为2∶1,求动点p的轨迹方程.
解析 要求动点p(x,y)的轨迹方程,即要建立关于p的坐标x,y的等量关系,而直接建立x,y的等量关系十分困难,但可以先寻找动点b(x0,y0)的坐标x0,y0之间的关系,再利用已知的p与b之间的关系(即x,y与x0,y0之间关系)得到关于x,y的方程.
设动点p为(x,y),b为(x0,y0).
因为ap=2pb,所以x=4+2x01+2,y=2y01+2,所以x0=3x-42,y0=3y2.
又因为点b在曲线c上,所以3x-422+94y2=4,即x-432+y2=169.
所以点p的轨迹方程为x-432+y2=169.
点评 代入法的主要步骤:
(1) 设所求轨迹上的任意一点为p(x,y),相对应的已知曲线上的点为q(x1,y1);
(2) 建立关系式x1=g(x,y),y1=h(x,y);
(3) 将这两上式子代入已知曲线方程中并化简,即得所求轨迹的方程.
四、 参数法
根据题设条件,用一个参数分别表示出动点(x,y)的坐标x和y,或列出两个含同一个参数的动点(x,y)的坐标x和y之间的关系式,这样就间接地把x和y联系起来了,然后联立这两个等式并消去参数,即可得到动点的轨迹方程.这种求轨迹的方法称为参数法.
例4 已知动点m 在曲线c:13x2+13y2-15x-36y=0上,点n在射线om上,且|om|·|on|=12,求动点n的轨迹方程.
解析 点n在射线om上,而在同一条以坐标原点为端点的射线上的任意两点(x1,y1),(x2,y2)的坐标的关系为x1x2=y1y2=k,k为常数且k>0,故可采用参数法求点n的轨迹方程.
设n为(x,y),则m为(kx,ky),k>0.
因为|om|·|on|=12,所以k2(x2+y2)·x2+y2=12,
所以k(x2+y2)=12.
又点m在曲线c上,所以13k2x2+13k2y2-15kx-36ky=0.
由以上两式消去k,得5x+12y-52=0,
所以点n的轨迹方程为5x+12y-52=0.
点评 用参数法求轨迹方程的步骤为:先引进参数,用此参数分别表示动点的横、纵坐标x,y;再消去参数,得到关于x,y的方程,即为所求的轨迹方程.注意参数的取值范围对动点的坐标x和y的取值范围的影响.
另外,求动点的轨迹方程时,还应注意下面几点:
(1) 坐标系要建立得适当.这样可以使运算过程简单,所得到的方程也比较简单.
(2) 根据动点所要满足的条件列出方程是最重要的一环.要做好这一步,应先认真分析题设条件,综合利用平面几何知识,列出几何关系(等式),再利用解析几何中的一些基本概念、公式、定理等将几何关系(等式)坐标化.
(3) 化简所求得的轨迹方程时,如果所做的变形不是该方程的同解变形,那么必须注意在该变形过程中是增加了方程的解,还是减少了方程的解,并在所得的方程中删去或补上相应的点,这时一般不要求写出证明过程.
求动点的轨迹方程要根据题设条件灵活地选择方法.常用的方法有两大类,一类是直接求法,包括利用圆锥曲线的定义等;另一类是间接求法,主要包括相关点法和参数法.
一、 直接法
一般情况下,动点在运动时,总是满足一定的条件的(即动中有静,变中有不变),可设动点的坐标为(x,y),然后选择适当的公式(如两点间的距离公式,点到直线的距离公式,两点连线的斜率公式,两直线(向量)的夹角公式,定比分点坐标公式,三角形面积公式等),或一些包含等量关系的定理、定义等,将题设条件转化成x,y之间的关系式(等式),从而得到动点的轨迹方程.这种求轨迹方程的方法称为直接法.
例1 已知定点a(-1,0),b(2,0),动点m满足2∠mab=∠mba,求点m的轨迹方程.
解析 直接设点m为(x,y),先将2∠mab=∠mba转化成直线ma,mb的斜率的关系式,便可得点m的轨迹方程.
图1
如图1,设∠mab=α,则∠mba=2α,显然0≤α<90°.
(1) 当2α≠90°时,
若m点在x轴上方,
则有tanα=kma=yx+1,tan(π-2α)=kmb=yx-2.
若点m在x轴下方,则有tan(π-α)=kma=yx+1,tan2α=kmb=yx-2.
于是总有-yx-2=2y1+x1-y2(1+x)2,注意到|ma|>|mb|,可得x2-y23=1(x≥1).
若点m在x轴上,则点m为线段ab上的点,所以有y=0(-1<x<2).
(2) 当2α=90°时,△mab为等腰直角三角形,点m为(2,±3).
综上,点m的轨迹方程为x2-y23=1(x≥1)或y=0(-1<x<2=.
二、 定义法
若动点在运动时满足的条件符合某种已知曲线的定义,则可以设出其轨迹的标准方程,然后利用待定系数法求出其轨迹方程.这种求轨迹方程的方法称为定义法,利用定义法求轨迹方程要熟知常见曲线的定义、特征.
例2 设动点p到点a(-1,0)和b(1,0)的距离分别为d1,d2(d1d2≠0),∠apb=2θ.若存在常数λ(0<λ<1),使得d1d2sin2θ=λ恒成立.
证明:动点p的轨迹c为双曲线,并求出c的方程.
图2
解析 如图2,在△pab中,|ab|=2.
由余弦定理,可得22=d21+d22-2d1d2cos2θ,即4=(d1-d2)2+4d1d2sin2θ,
又d1d2sin2θ=λ(常数),0<λ<1,
则有|d1-d2|
=4-4d1d2sin2θ=21-λ(常数)<2=|ab|,
所以点p的轨迹c是以a,b为焦点,实轴长2a=21-λ的双曲线,
从而a=1-λ,c=1,故b2=c2-a2=λ,
则c的方程为x21-λ-y2λ=1.
三、 代入法
若所求轨迹上的动点p(x,y)与另一个已知轨迹(曲线)c:f(x,y)=0上的动点q(x1,y1)存在着某种联系,则可以把点q的坐标用点p的坐标表示出来,然后代入曲线c的方程f(x,y)=0中并化简,即得动点p轨迹方程.这种求轨迹方程的方法叫做代入法(又称相关点法).
例3 已知定点a(4,0)和曲线c:x2+y2=4上的动点b,点p分ab之比为2∶1,求动点p的轨迹方程.
解析 要求动点p(x,y)的轨迹方程,即要建立关于p的坐标x,y的等量关系,而直接建立x,y的等量关系十分困难,但可以先寻找动点b(x0,y0)的坐标x0,y0之间的关系,再利用已知的p与b之间的关系(即x,y与x0,y0之间关系)得到关于x,y的方程.
设动点p为(x,y),b为(x0,y0).
因为ap=2pb,所以x=4+2x01+2,y=2y01+2,所以x0=3x-42,y0=3y2.
又因为点b在曲线c上,所以3x-422+94y2=4,即x-432+y2=169.
所以点p的轨迹方程为x-432+y2=169.
点评 代入法的主要步骤:
(1) 设所求轨迹上的任意一点为p(x,y),相对应的已知曲线上的点为q(x1,y1);
(2) 建立关系式x1=g(x,y),y1=h(x,y);
(3) 将这两上式子代入已知曲线方程中并化简,即得所求轨迹的方程.
四、 参数法
根据题设条件,用一个参数分别表示出动点(x,y)的坐标x和y,或列出两个含同一个参数的动点(x,y)的坐标x和y之间的关系式,这样就间接地把x和y联系起来了,然后联立这两个等式并消去参数,即可得到动点的轨迹方程.这种求轨迹的方法称为参数法.
例4 已知动点m 在曲线c:13x2+13y2-15x-36y=0上,点n在射线om上,且|om|·|on|=12,求动点n的轨迹方程.
解析 点n在射线om上,而在同一条以坐标原点为端点的射线上的任意两点(x1,y1),(x2,y2)的坐标的关系为x1x2=y1y2=k,k为常数且k>0,故可采用参数法求点n的轨迹方程.
设n为(x,y),则m为(kx,ky),k>0.
因为|om|·|on|=12,所以k2(x2+y2)·x2+y2=12,
所以k(x2+y2)=12.
又点m在曲线c上,所以13k2x2+13k2y2-15kx-36ky=0.
由以上两式消去k,得5x+12y-52=0,
所以点n的轨迹方程为5x+12y-52=0.
点评 用参数法求轨迹方程的步骤为:先引进参数,用此参数分别表示动点的横、纵坐标x,y;再消去参数,得到关于x,y的方程,即为所求的轨迹方程.注意参数的取值范围对动点的坐标x和y的取值范围的影响.
另外,求动点的轨迹方程时,还应注意下面几点:
(1) 坐标系要建立得适当.这样可以使运算过程简单,所得到的方程也比较简单.
(2) 根据动点所要满足的条件列出方程是最重要的一环.要做好这一步,应先认真分析题设条件,综合利用平面几何知识,列出几何关系(等式),再利用解析几何中的一些基本概念、公式、定理等将几何关系(等式)坐标化.
(3) 化简所求得的轨迹方程时,如果所做的变形不是该方程的同解变形,那么必须注意在该变形过程中是增加了方程的解,还是减少了方程的解,并在所得的方程中删去或补上相应的点,这时一般不要求写出证明过程.
运动方程包含时间变量t,轨迹方程没有。
运动方程消去时间变量t,就是即轨迹方程。
例如 斜抛,
运动方程:x=v0cos θ *t,y=v0sin θ *t-gt^2/2
轨迹方程:y=tan θ *x-gx^2/【2(v0cos θ)^2】
一质点的运动方程为x(t)=4cos(2t) y(t)=4sin(2t)z(t)=4t 求轨迹方程...
2式平方相加消去参数t:x^2+y^2=4^2-->这是轨迹方程,为圆心在原点、半径为4m的圆
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希望可以帮助到你!
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5. 极坐标法:当一个点的运动轨迹是以极坐标表示的时,可以通过坐标转换得到轨迹方程。例如,已知一个点在平面内以原点为中心,沿着极坐标系中的射线运动,其极坐标为(r,θ),那么该点的轨迹方程为rcosθ=常数。6. 旋转变换法:当一个点的运动轨迹是由旋转变换决定的时,可以通过旋转矩阵得到轨迹...
已知质点的运动方程r(t),可以获得质点运动有关的所有信息,包括...
1、x=3t,y=1-t*t 所以轨迹方程为y=1-(x\/3)^2 2、t=3直接代入,位矢r=9i-8j 3、第二秒内的位移为r(t=2)-r(t=1)=(6i-3j)-(3i)=3i-3j 平均速度为位移\/时间=(3i-3j)\/1=3i-3j 4、运动方程对t求导,得到速度 v=3i-2tj,t=2代入得到2秒时的速度v(2)=3i-4j ...
姓洪妇科:[答案] x = t y = t^2 消去 t 得到 y = x^2 这就是轨迹方程.
湟源县17081927590: 什么是运动轨迹方程知道质点的运动方程,求运动轨迹方程 - ?
姓洪妇科:[答案] 符合一定条件的动点所形成的图形,或者说,符合一定条件的点的全体所组成的集合,叫做满足该条件的点的轨迹.
湟源县17081927590: 大学力学 已知运动方程r=(3+2t)i+5j 求它的轨迹方程怎么求,最好具体点 - ?
姓洪妇科: i方向运动方程为x = 3+2t j方向运动方程为y = 5 x = 3+2t y = 5 这个参数表示y = 5的直线,所以轨迹就是一条直线y=5,不过是x>=3的部分
湟源县17081927590: 已知质点的运动方程为r=(2t+3)i+4t2j,则该质点的轨道方程为什么? - ?
姓洪妇科:[答案] 从题目已知的运动方程得: 在X轴,X=(2t+3) 在Y轴,y=4*t^2 消去参数 t ,得 y=4* [ (X-3) / 2 ] ^2 整理后,得所求质点的轨道方程是 y= (X-3)^2 ,是抛物线方程.
湟源县17081927590: 已知一质点的运动方程为r=2ti+(2 - t^2)j(SI) 求质点轨迹方程? - ?
姓洪妇科:[答案] 由这种矢径方程得出分量方程: x=2t y=2-t^2 消去t可得轨迹方程
湟源县17081927590: 已知运动方程怎么求运动轨迹 - ?
姓洪妇科: 不如平抛运动,水平是匀速直线运动,垂直就是加速度为g的匀加速运动,轨迹书上应该有公式
湟源县17081927590: 轨迹方程的求法 - ?
姓洪妇科: 解:设P点坐标(x',y'),Q点坐标(x,y) 因为P,Q关于(1,1)点对称 所以1/2*(x+x')=1 1/2*(y+y')=1 得x'=2-x y'=2-y 代入原抛物线 (2-y)^2=6*(2-x) 4-4y+y^2=12-6x y^2-4y+6x-8=0为所求Q点轨迹方程
湟源县17081927590: 已知运动学方程r=5cos5ti+5sin5tj 求轨迹方程 - ?
姓洪妇科: 由:r=5cos5ti+5sin5tj 可得:x=5cos5t,y=5sin5t 则有:x^2+y^2=25 即:轨迹方程为:以坐标原点为圆心,半径为5的圆.
湟源县17081927590: 已知质点的运动学方程是x=(10+3t^2)i+2t^2j,帮我求一下其轨迹方程;谢谢 - ?
姓洪妇科:[答案] x=10+3t^2,得到t^2=(x-10)/3, 代入y=2t^2即可.