整式的乘法公式讲解

整式的乘法公式~

(a-1)(a^x+a^(x-1)+...+a^2+1)
=a^(x+1)-1

因式分解，也叫分解因式，
因式分解，是主谓短语，
分解因式，是动宾短语，
就是把多项式，变成一个个式子相乘的形式；

如果需要示意图，就看看汉字 “目”、“月” 和 “朋”、“用”，
“月” 和 “目” 就是长为 3，宽分别是 a、b 的两个长方形，
写成 3a + 3b 像 “朋” 就是一个两项式，
如果 “月” 和 “目” 拼成一个 “用”，就是 3(a + b) 的一个长方形，
把 3a + 3b 两项相加的式子变成 3(a+b) 乘积的式子，就是因式分解。

分解因式，也正如分解质因数，
分解质因数，是要把整数变成一个个质数的乘积，在因数中去掉合数；
分解因式，就是把整式变成一个个因式的乘积，尽量降低各个因式的次数，

具体方法，
【第一步，提取公因式】
这也是最简单的方法，
公因式不仅有：系数、字母、单项式（这些相信我们都熟悉了），
而且，公因式还可能是一个式子，
例如 (a + b)(3m + 2n) + (2m + 3n)(a + b)，公因式是 (a+b)
原式 = ( a + b )( 3m + 2n + 2m + 3n )
= ( a + b )( 5m + 5n ) ——这样再提取系数 5
= 5( a + b )( m + n )

【第二步，公式法】
就是把整式乘法的公式倒过来用，
a" - b" = (a - b)(a + b) ——平方差，
a" + 2ab + b" = (a + b)" ——完全平方和，
a" - 2ab + b" = ( a - b )" ——完全平方差，
a"' + b"' = (a + b)(a" - ab + b") ——立方和，
a"' - b"' = ( a - b )(a" + ab + b") ——立方差，
熟悉公式，熟悉平方数、立方数是关键，

【平方差】还有两个完全平方相减的式子，
例如 9( x + y )" - 4( x + y - 1 )"
= [ 3(x + y) - 2(x + y - 1) ][ 3(x + y) + 2(x + y - 1) ]
= ( 3x + 3y - 2x - 2y + 2 )( 3x + 3y + 2x + 2y - 2 )
= ( x + y + 2 )( 5x + 5y - 2 )

【完全平方式】应该注意
( a - b )"
= [ - ( b - a ) ]" = ( b - a )"
= a" - 2ab + b" = b" - 2ab + a"
而且
( a - b )" = [ a + ( - b ) ]"
= a" - 2ab + b" = a" + 2a(-b) + (-b)"
公式或许就只有一个
( a + b )" = a" + 2ab + b"
不管是和的平方，还是差的平方，
最先也都是平方和，
a" - 2ab - b" 就错了。

【立方和、立方差】
原来两个三次项，分解因式变成五个项，
两个是一次项、三个是二次项，
a"' + b"' = ( a + b )( a" - ab + b" )
a"' - b"' = ( a - b )( a" + ab + b" )

我们看看特征，
两个一次项 a 和 b，正负与原来的三次项 a"' 和 b"' 一样；
三个二次项，a" + b" 还是平方和，中间项 ab 就要与一次项相反。
或者，
看分解因式的五个项，
立方和，只有二次项 ab 为负，其余全都是正；
立方差，除了一次项 b 为负，其余全都是正。

想一想，
二次项 ab，如果立方和换成 +ab，立方差换成 -ab，
再变成 2 不就成了完全立方吗？怎么是立方和、立方差呢？
( a + b )( a" + 2ab + b" ) =( a + b )( a + b )" =( a + b )"'
( a - b )( a" - 2ab + b" ) = ( a - b )( a - b )" = ( a - b )"'
这样看来，立方和是 -ab，立方差是 +ab，就是要加大与完全立方的差别啊！

为了熟悉公式，我们也应该取简单的数字算一算，
2"' - 1"' = 8 - 1
= 7 = 1 X 7
= ( 2 - 1 )( 4 + 2 + 1 )
= ( 2 - 1 )( 2" + 2 + 1 )
相信我们都知道，分解因式是这五个项，
相对困难就是正负符号，不知怎样确定，
这样只要算一算，就能够帮助自己确定符号了。

【第三步，二次三项式分解】
我建议，十字相乘法，结合分组分解法一同使用，
正如 x" + (a + b)x + ab = ( x + a )( x + b )
把单项式 mx = (a+b)x ，拆开变成 ax + bx ，
就能够分组提公因式进行分解。

【】关键是看常数项的正负，决定一次项怎样一分为二，
如果常数项是正数，一次项的绝对值，就是拆开两个项的和；
如果常数项是负数，一次项的绝对值，就是拆开两个项的差。

前面已经说过，完全平方，b" 必然都是 +b"，
x" + 10x + 25 = ( x + 5 )"
x" - 10x + 25 = ( x - 5 )"
再看看 x" ± 10x ± 24，分解因式 4 种情况都有，

【】如果常数项是正数，
一次项拆开两个项的绝对值，就都比原来小；
x" + 10x + 24
= x" + 4x + 6x + 24
= x( x + 4 ) + 6( x + 4 )
= ( x + 4 )( x + 6 )

常数项 +24 不变，一次项 ±10x 就都是拆开 4x 与 6x 的和，
x" - 10x + 24
= x" - 4x - 6x + 24
= x( x - 4 ) - 6( x - 4 )
= ( x - 4 )( x - 6 )

【】如果常数项是负数，
一次项的绝对值，就是拆开两个项的相差数；
x" - 10x - 24
= x" - 12x + 2x - 24
= x( x - 12 ) + 2( x - 12 )
= ( x - 12 )( x + 2 )

常数项 -24 不变，一次项 ±10x 就都是拆开 12x 与 2x 的相差数，
x" + 10x - 24
= x" + 12x - 2x - 24
= x( x + 12 ) - 2( x + 12 )
= ( x + 12 )( x - 2 )

这样我们也就发现，
【】为什么看常数项的正负，决定一次项怎样一分为二呢？这是因为：
常数项不变，只是一次项变成相反数，一次项一分为二的绝对值就不变；
一次项不变，只要常数项变成相反数，一次项就要改变一分为二的方式；

像这样的二次三项式，还有
x" ± 5x ± 6，
x" ± 10x ± 24，
x" ± 15x ± 54，
x" ± 20x ± 96，
x" ± 25x ± 150，
……
其实，它们都是 x" ± 5xy ± 6y" ，
这个式子千变万化，还有
6x" ± 5x ± 1，
6x" ± 10x ± 4，
6x" ± 15x ± 9，
6x" ± 20x ± 16，
6x" ± 25x ± 25，
……
这样的式子还不只一个，还有
8x" ± 26x ± 15，
8x" ± 52x ± 60，
8x" ± 78x ± 135，
8x" ± 104x ± 240，
8x" ± 130x ± 375，
……
其实，这样也都是 8x" ± 26xy ± 15y" ，
这个千变万化的式子，同样还有
15x" ± 26x ± 8，
15x" ± 52x ± 32，
15x" ± 78x ± 72，
15x" ± 104x ± 128，
15x" ± 130x ± 200，
……
它们包括了多种具体情况，
让我们也都取值做一做，
感受一下其中的奥秘吧。

【】二次三项式，分解因式，
这样也是技巧、窍门，
关键就看 c 与 a 的正负，
只要熟悉这个方法，
x" + bx + c，
ax" + bx + c，
ax" + bxy + cy"，
我们都同样做得方便。

【复杂的多项式，配方法】
如果上面这些方式方法都不熟悉，
或者二次三项式看起来复杂，不知所措，
还可以使用配方法，
我们还是看看 x" - 10x - 24 ，

x" - 10x - 24
首先配方，把二次项和一次项，变成完全平方，
= x" - 10x + 5" - 25 - 24
= ( x - 5 )" - 49
分解因式，用平方差公式
= ( x - 5 )" - 7"
= ( x - 5 - 7 )( x - 5 + 7 )
= ( x - 12 )( x + 2 )

【分解之后，还要检验】
确保分解彻底，因式分解变形正确，
例如 x^6 - y^6，应该
= ( x"' - y'" )( x"' + y"' )
= ( x - y )( x + y )( x" - xy + y" )( x" + xy + y" )
相当于 64 - 1，
= ( 8 - 1 )( 8 + 1 )
= ( 2 - 1 )( 4 + 2 + 1 )( 2 + 1 )( 4 - 2 + 1 )
= 1 X 7 X 3 X 3
如果先用立方差，做成
= ( 4 - 1 )( 4" + 4 + 1 )
= ( 2 - 1 )( 2 + 1 )( 16 + 4 + 1 )
= 1 X 3 X 21
就还有 21 不是质因数，分解不彻底，也就不正确了。

正如现在的平方差，有两个完全平方式相减，
现在要求分解的式子都比较复杂，要想还原就不方便了，
各种类型的式子，我们就都要熟悉两三种解答方式，
看看不同的方式方法是不是同一个结果，
这样才能够相互检验，确保解答正确。

如果要看技巧、诀窍，我还发布了百度经验
http://jingyan.baidu.com/article/11c17a2c749061f446e39d9a.html
http://jingyan.baidu.com/article/8275fc86baa46346a13cf651.html
希望你看过也有用，对你也有所帮助。

(a+b)(a+b)=(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 或者 (a-b) (a-b)=(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
归纳 这两个公式叫做完全平方公式，两数和（或差）的平方，等于这两数的平方和，加上（或减去）这两数积的2倍。
我们通常表示为：
(a±b)^2=a^2±2ab+b^2
注：
通常a,b是表示一个整体的代数式，不一定是数，例如：[(3x-y)-(2x+2y)][(3x-y)+(2x+2y)]=5x^2+6xy+y^2
[编辑本段]常见错误
完全平方公式中常见错误有：①学生难于跳出原有的定式思维，如典型错误； （错因：在公式的基础上类推，随意“创造”）②混淆公式；③运算结果中符号错误；④变式应用难于掌握。
[编辑本段]学习方法及例题
一、理解公式左右边特征 （一）学会推导公式（这两个公式是根据乘方的意义与多项式的乘法法则得到的），真实体会随意“创造”的不正确性； （二）学会用文字概述公式的含义： 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍． 与都叫做完全平方公式．为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式． （三）这两个公式的结构特征是： 1、左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍； 2、左边两项符号相同时，右边各项全用“＋”号连接；左边两项符号相反时，右边平方项用“＋”号连接后再“－”两项乘积的2倍（注：这里说项时未包括其符号在内）； 3、公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等数学式． （四）两个公式的统一： 因为 所以两个公式实际上可以看成一个公式：两数和的完全平方公式。这样可以既可以防止公式的混淆又杜绝了运算符号的出错。 二、把握运用公式四步曲： 1、“察”：计算时，要先观察题目特点是否符合公式的条件，若不符合，应先变形为符合公式的条件的形式，再利用公式进行计算，若不能变为符合公式条件的形式，则应运用相应乘法法则进行计算． 2、“导”：正确地选用完全平方公式，关键是确定式子中a、b分别表示什么数或式． 3、“算”：注意每步的运算依据，即各个环节的算理。 4、“验”：完成运算后学会检验，既回过头来再反思每步的计算依据和符号等各方面是否正确无误，又可通过多项式的乘法法则进行验算，确保万无一失。 三、掌握运用公式常规四变 （一）、变符号： 例1：运用完全平方公式计算： （1） （2） 分析：本例改变了公式中a、b的符号，处理方法之一：把两式分别变形为再用公式计算（反思得：）；方法二：把两式分别变形为：后直接用公式计算；方法三：把两式分别变形为：后直接用公式计算（此法是在把两个公式统一的基础上进行，易于理解不会混淆）； （二）、变项数： 例2：计算： 分析：完全平方公式的左边是两个相同的二项式相乘，而本例中出现了三项，故应考虑将其中两项结合运用整体思想看成一项，从而化解矛盾。所以在运用公式时，可先变形为或或者，再进行计算． （三）、变结构 例3：运用公式计算： （1）（x＋y）·（2x＋2y）； （2）（a＋b）·（－a－b）； （3）（a－b）·（b－a） 分析；本例中所给的均是二项式乘以二项式，表面看外观结构不符合公式特征，但仔细观察易发现，只要将其中一个因式作适当变形就可以了，即 （1）（x＋y）·（2x+2y）=2（x＋y）?； （2）（a＋b）·（－a－b）=－（a＋b）?； （3）（a－b）·（b－a）=－（a－b）? （四）、简便运算 例4：计算：（1）9992（2）100.12 分析：本例中的999接近1000，100.1接近100，故可化成两个数的和或差，从而运用完全平方公式计算。即：（1）。 四、学会公式运用中三拓展 1、公式的混用 例5：计算： （l）（x+y+z）（x+y-z） （2）（2x-y+3z）（y-3z-2x） 分析：此例是三项式乘以三项式，特点是：有些项相同，另外的项互为相反数。故可考虑把相同的项和互为相反数的项分别结合构造成平方差公式计算后，再运用完全平方公式等计算。即：（1）（x+y+z）（x+y-z）=[（x+y）+z][（x+y）-z]=… （2）（2x-y+3z）（y-3z+2x）=[2x-（y-3z）][（2x+（y-3z）]=…2、公式的变形： 熟悉完全平方公式的变形式，是相关整体代换求知值的关键。 例6：已知实数a、b满足（a＋b）2=10，ab=1。求下列各式的值： （1）a2+b2；（2）（a－b）2 分析：此例是典型的整式求值问题，若按常规思维把a、b的值分别求出来，非常困难；仔细探究易把这些条件同完全平方公式结合起来，运用完全平方公式的变形式很容易找到解决问题的途径。即：（1）a2＋b2=（a＋b）2－2ab=… （2）（a－b）2=（a＋b）2－4ab=… 3、公式的逆用： 例7：计算： 分析：本题若直接运用乘法公式和法则较繁琐，仔细分析可发现其结构恰似完全平方公式的右边，不妨把公式倒过来用可得：==4

(a+b)(a-b)=a^2-b^2
两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做乘法的平方差公式。
[编辑本段]说明
当乘式是两个数之和以及这两个数之差相乘时，积是二项式。这是因为具备这样特点的两个二项式相乘，积的四项中，会出现互为相反数的两项，合并这两项的结果为零，于是就剩下两项了。而它们的积等于乘式中这两个数的平方差，即a^-b^ =(a+b)(a-b)
两数和於这两数差的基，等於它们的平方差。
[逆推导平方差公式]
a^2-b^2
=a^2-b^2+(ab-ab)
=(a^2-ab)+(ab-b^2)
=a(a-b)+b(a-b)
=(a+b)(a-b)
[编辑本段]公式运用
[解方程]
x×x-y×y=1991
[思路分析]
利用平方差公式求解
[解题过程]
x^2－y^2＝1991
(x＋y)(x－y)＝1991
因为1991可以分成1×1991，11×181
所以如果x＋y＝1991，x－y＝1，解得x＝996，y＝995
如果x＋y＝181，x－y＝11，x＝96，y＝85同时也可以是负数
所以解有x＝996，y＝995，或x＝996，y＝－995，或x＝－996，y＝995或x＝－996，y＝－995
或x＝96，y＝85，或x＝96，y＝－85或x＝－96，y＝85或x＝－96，y＝－85

供参考！江苏吴云超祝你学习进步

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