如何证明斯图姆法则？
斯坦纳定理：“如果三角形中两内角平分线长度相等，则必为等腰三角形”。这一命题的逆命题：“等腰三角形两底角的平分线长在相等”，早在二千多年前的《几何原本》中就已作为定理，证明是很容易的。
但上述命题在《几何原本》中只字未提，直到1840年，莱默斯（C.L.Lehmus）在他给斯图姆的信中提出请求给出一个纯几何证明。斯图姆没有解决，就向许多数学家提出这一问题。首先给出证明的是瑞士几何学家斯坦纳（J.Steiner,1796~1863），因而这一定理就称为斯坦纳—莱默斯定理。
扩展资料：
证明：
在△ABC中，BD,CE为其角平分线，且BD=CE
设∠ABD=∠CBD=x,∠ACE=∠BCE=y
根据张角定理，有
2cosx/BD=1/AB+1/BC
2cosy/CE=1/AC+1/BC
则2*AB*BC*cosx/(AB+BC)=BD=CE=2*AC*BC*cosy/(AC+BC)
即(AB*(AC+BC))/(AC*(AB+BC))=cosy/cosx
利用分比定理。并对cosy-cosx使用和差化积
AB-AC=(-(2*AC*(AB+BC))/(BC*cosx))*sin((y+x)/2)*sin((y-x)/2)
若AB>AC，则上式左端为正，右端为负
若AB<AC，则上式左端为负，右端为正
故AB=AC
参考资料来源：百度百科-斯坦纳定理
这就是著名的斯坦纳--莱默斯定理。1840年,莱默斯[C.L.Lehmus]在给斯图姆[C.Sturm]的一封信中提出的，他请求给出一个纯几何的证明，斯图姆向许多数学家提到此问题。首先回答的是瑞士大几何学家斯坦纳[J.Steiner]。后来该定理就以斯坦纳--莱默斯定理定理而闻名于世。在1965年的一篇报道中提到该定理约有60多种证法。下面给出两种证法.
己知 在△ABC中，BE,CF是∠B，∠C的平分线，BE=CF。求证:AB=AC.
证法一 设AB≠AC,不妨设AB>AC，这样∠ACB>∠ABC，从而∠BCF=∠FCE=∠ACB/2>∠ABC/2=∠CBE=∠EBF。
在△BCF和△CBE中，因为BC=BC, BE=CF，∠BCF>∠CBE.
所以 BF>CE。 (1)
作平行四边形BEGF，则∠EBF=∠FGC,EG=BF,FG=BE=CF，连CG，
故△FCG为等腰三角形，所以∠FCG=∠FGC。
因为∠FCE>∠FGE，所以∠ECG<∠EGC。
故得 CE>EG=BF. (2)
显然(1)与(2)是矛盾的，故假设AB≠AC不成立，于是必有AB=AC。
证法二 在△ABC中，假设∠B≥∠C，则可在CF上取一点F'，使∠F'BE=∠ECF'，这有CF≥CF'。
延长BF'交AC于A',则由∠BA'E=∠CA'F',有ΔA'BE∽ΔA'CF'.
从而A'B/A'C=BE/CF'≥BE/CF=1.
那么在△A'BC中，由A'B≥A'C，得:
∠A'CB≥∠A'BC，即∠C≥(∠B+∠C)/2，故∠B≤∠C。
再由假设∠B≥∠C，即有∠B=∠C。
所以△ABC为等腰三角形。
f(x)，f1(x)，f2(x)，…，fm-1(x)，C＝fm(x)．
其中f1(x)是f(x)的导数 f′(x)，用f1(x)除多项式f(x)所得余式反号后为f2(x)，然后用f2(x)除多项式f1(x)所得余式反号后为f3(x)，依此类推，可以证明最后一个不等于零的多项式fm(x)=C为常数．将x=a及x=b代入上面函数序列，得两实数序列
f(a)，f1(a)，f2(a)，…，fm-1(a)，C； (1)
f(b)，f1(b)，f2(b)，…，fm-1(b)，C． (2)
设序列(1)的变号数为A，序列(2)的变号数为B，则A—B即为方程f(x)=0在区间(a，b)内的实根数．西尔维斯特对斯图姆定理进行了研究，发现了不需反复做多项式除法而得出斯图姆函数序列的一种较简单的方法，并把斯图姆定理的方法应用到两个独立函数f(x) 这两个方程的根以大小顺序排列时，它们相互穿插．
牛顿在研究代数方程根的个数中，曾提出了判定正根、负根和虚根个数的符号法则，但是没有给出证明，西尔维斯特于1865年给出了第一个严格的证明．1865年6月28日，西尔维斯特在伦敦大学国王学院的演讲，详细阐述了他关于方程根的定理和证明．若f(x)=0是一个代数方程，假设
f(x)=a_0x^n+na_1x^{n-1}+n(n-1)a_2x^{n-2}/2 +...+a_{n-1}x+a_n
其中a0，a1，…，an称为f(x)的简单元素．令
A_0=a_0^2,A_{n-1}=a_{n-1}^2-a_{n-2}a_n,
A0，A1，A2，…，An称为f(x)的2次项元素．称ar，ar+1是相连的简单元素，A_r,A_{r+1}是相连的2次项元素，a_r,A_r是相关联的一组元素，a_ra_{r+1},A_rA_{r+1}是相关联的一组相连项,一个相关连项可能包括符号的承袭和变更；在一个相关联的组中，可能是两个承袭或两个变更，或一个承袭一个变更，或一个变更一个承袭，分别用pP，vV，pV，vP表示，简称为双承袭，双变更，承袭变更，变更承袭．其中p，v表示相连简单元素的承袭和变更，P，V表示相连的2次项元素的承袭和变更．于是牛顿的完全法则可以简单地表述为：方程的负根数等于或小于∑pP，正根数等于或小于∑vP．由此可以得出推论：方程的实根总数等于或小于∑pP+∑vP．于是牛顿的不完全法则可表述为：方程的虚根数等于或大于n-(∑pP＋∑vP)．
西尔维斯特又将f(x)改写为f(x＋λ)，上面简单元素和2次项元素的序列也要作相应的改变，双承袭记作∑pP(λ)，或更简要地记作pP(λ)，称为λ特有的双承袭数目，pP(u)则称为μ特有的双承袭数目．(pP(0)即上面∑pP的记法)于是西尔维斯特得到了包括牛顿法则在内的一般定理：假设μ＞λ，则pP(u)-pP(λ)=(u，λ)＋2K，其中(μ，λ)表示方程在λ和μ之间的实根数，K是零或任意的正整数．西尔维斯特还将他的定理写成更一般的形式，他证明了他的定理，并指出了牛顿法则包含在他的定理之中．
在关于代数方程实根的研究中，西尔维斯特还推广并改进了牛顿的判别式．设x1，x2，…，x是方程。a0xn＋a1xn-1+…＋an-1x+an=0的根，牛顿的判别式为
D=a_0^{2n-2}prod{(x_j-x_i)^2}{1 1840年，西尔维斯特得到了一个更详细的直接用方程的系数构成的判别式；
***** 如方程a0x2+a1x+a2=0的判别式为
***** 这就是大家所熟知的结果．
西尔维斯特在方程论方面的另一个成就是改进了从一个n次方程和一个m次方程消去x的方法，他称这个方法为“析配法”．例如为消去方程
f(x)=a0xn＋a1xn-1＋…+an=0(a0≠0)
****** 中的x，它们的系数构成一个 m＋n阶的行列式
*****
这行列式为零是这两个方程有公共解的必要充分条件．但西尔维斯特没有给出充分性的证明，后来被柯西证明．
19世纪中叶，西尔维斯特与凯莱等一批数学家开展了对代数型的研究．所谓代数型是指包含n个变元x1，x2，…，xn的m次齐次多项式f(x1，x2，…，xn)，最常见的是二次型，即
***** 关于代数型的研究主要围绕着三个课题，一是对不变量的研究；二是二次型的化简；三是关于二次型正定性的判定．西尔维斯特在这三个方面都做出了重要的贡献．
代数不变量的理论是由布尔、凯莱和西尔维斯特共同创立的．所谓不变量理论就是经线性变换T将一个代数型f(x1，x2，…，xn)变为代数型F(y1，y2，…，yn)，f的系数a0，a1，…，as变为F的系数a′0，a′1，…，a′s，若经变换后它们的系数的某个函数I满足关系式
I(a_0^',a_1^',ldots,a_s^')=r^omega I(a_0,a_1,ldots,a_s)
则称I为f的一个不变量．若ω=0，此不变量称为f的绝对不变量．譬如在一个直角坐标系下，两个变元x，y的二次型
f=ax2+2bxy＋cy2
经一个正交变换T，变为二次型
F=a′x′2＋2b′x′y′+c′y′2
虽然它们的系数改变了，但是它们系数的某个函数如判别式
D=left[matrix{a&bcrb&c} ight]=b^2-ac
是保持不变的，即
D=ac-b2＝a′c′-b′2=D′，
也就是说判别式D=ac-b2是f的一个不变量．西尔维斯特等人计算了大量的代数型的不变量．西尔维斯特还发展了型的反变理论，弄清了正交变换、共变和皮变迭合，并且证明了由凯莱首先提出的在研究不变量理论方面有重要意义的凯莱数的存在性．
西尔维斯特还与凯莱、阿隆霍尔德一起系统地用线性微分算子来生成不变量和共变量．在不变量的计算中证明了任意2元P次型
f=a0xp+Pa1xp-1y+…+apyp
的不变量I应当满足两个微分方程
ΩI=0，OI=0．
这里Ω和O是线性微分算子，
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