三个数学问题五等分圆等

怎么把一个圆三等分／五等分~

这个简单。圆是360度的
(1) 3等分每个120度，在圆内画一个等边三角形，得出60度，画两个叠加就是120度。
(2)5等分的每个每段弧对应的圆心角为72度，用黄金分割点的性质。
定出1单位长度。
画一个直角边为1，2长的直角三角形，在斜边上做1，斜边上剩下的就是(-1+√5)/2，以这个为等腰三角形的腰，1为底边，那等腰三角形的底角为72度，那就直接在圆上华出4个72度的圆心角就是，那就把圆5等分了。

1)、设该圆中心为O点，做圆O直径AB； 2）、在此圆中再作一直径CD，使CD垂直于AB； 3）、以半径OA的中点M为圆心，以MC为半径作弧交线段AB于点N； 4）、连结NC。 则线段NC即该圆的内接正五边形边长。 以下怎么画五角星不要再说了吧：）

【问题一】：正五边形尺规作图【如左图】。
【图片可以看这里：
http://s1.photo.store.qq.com/http_imgload.cgi?/rurl4_b=004d68a8693dd5f4687ab98ed12dbd0ae637bbd3013831e1c5cb78fba06c12f43e605c8aa6fad67e13cbceec781bdda8b709215353a594fcd688c9270268684d834b7d9815cd1aa74c19f4889acf58939bd408e7】
目标证明：为什么AH为圆O的内接正五边形弦长。
设R为圆O半径，正五边形边长=2Rsin[36度]
本题即需要证明∠AOB＝72度。
取AB的中点G，并过B作BJ⊥ON于J，

OK=R/2，⊿OAK勾股定理得：KA=(√5/2)R=KH
OH=KH-OK=(√5/2)R-R/2=(√5-1)R/2
⊿OAH中：AH^2=OH^2+OA^2={(√5-1)^2/4+1}R^2=(10-2√5)^2R^2/4
AH=(√(10-2√5)/2)R=AB
——【到这里实际就可以根据数值计算得：√(10-2√5)/4=sin[36]，只不过是无理数不能看到精确值，实际上是绝对相等的。】

G为AB中点，则：BG=AB/2=AH/2=(√(10-2√5)/4)R
OG^2=OB^2-BG^2=R^2-(10-2√5)R^2/16=(6+2√5)R^2/16
OG =(√(6+2√5)/4)R
直角梯形BJOA的面积有：
S[BJOA]=S[BJO]+S[AOB]
(BN+OA)×OJ/2=BN×OJ/2+AB×OG/2
化简得：OA×OJ= AB×OG，代入得：
OJ×R=(√(10-2√5)/2)R×(√(6+2√5)/4)R
得：OJ=(√(10+2√5)/4)R
BJ^2=OB^2-OJ^2=R^2-((10+2√5)/16)R^2=(6-2√5)R^2/16
得：BJ=(√(6-2√5)/4)R

Sin[∠BOG]=BG/OB=√(10-2√5)/4
Sin[∠BOJ]=BJ/OB＝BJ/R=√(6-2√5)/4
Cos[∠BOJ]=OJ/OB=OJ/R=√(10+2√5)/4
根据倍角公式sin[2x]=2sin[x]cos[x]
Sin[2∠BOJ]=2 Sin[∠BOJ] Cos[∠BOJ]
＝2×(√(6-2√5)/4)×(√(10+2√5)/4)
＝√(10-2√5)/4
＝Sin[∠BOG]
所以：∠BOG＝2∠BOJ
因为∠BOG+∠AOG+∠BOJ=2∠BOG+∠BOJ=5∠BOJ=90度，
所以∠BOJ＝18度，所以∠AOB＝72度。

故得证。

【问题二】：证明正多边形的对称轴为什么交于一点。
http://s3.photo.store.qq.com/http_imgload.cgi?/rurl4_b=004d68a8693dd5f4687ab98ed12dbd0acfec2d20f3c4cb9e94cf2d84944d5a600a482ae34891d350d2551094f7ed8b083a16c393889925488c38db58364dd38c985bbca6f498023fbf47ba74938b79a35e946ad8
正多边形各个内角相等，边相等。
任取三个相邻的点A、B、C，作所在内角的角平分线，
∠A与∠B的角平分线交于O点；
∠B与∠C的角平分线交于O’点；
因为等腰△OBA与等腰△OBC全等，所以OB=O’B,即O与O’重合，因此所有内角平分线交于O点，O到各顶点距离相等，即为正多边形外接圆圆心。
那么正多边形的的对称轴就是直径所在直线，即为O与各顶点连线。
反过来讲，正多边形的对称轴交于O。

【问题三】：证三角形的三条高为什么交于一点。
http://s13.photo.store.qq.com/http_imgload.cgi?/rurl4_b=004d68a8693dd5f4687ab98ed12dbd0a87f17ff7c2b49e2af396ec3330046dc38ce4810997c11d507fdcde4e8385dca7d1778ff4401616e235686087e81d1c7d3e8ecd307a6fb0203e95d5fc8d16063dffebdac1
作三角形ABC，作三条高AD、BE、CF，过各顶点作对边的平行线，相交成大的三角形MNP，则根据三角形全等可知，A、B、C是大三角形MNP各边的中点，三条高就垂直与MNP的各边，即：
三条高所在直线为大三角形MNP各边的中垂线。【必然交于外接圆圆心】
记两条高AD交BE于H，则HM=HN=HP，所以H在NP的垂直平分线上，即得证。

1.先在圆中按此方法：
1. 作互相垂直的直径MN和AP；
2. 平分半径OM于K，得OK=KM；
3. 以K为圆心，KA为半径画弧与ON交于H， AH即为正五边形的边长；
4. 以AH为弦长，在圆周上截得A、B、C、D、E各点，顺次连结这些点。
作一个正五边ABCDE，再作射线OA、OB、OC、OD、OE，它们与圆周的交点就是五等分点

2.奇数边：连接一个顶点和顶点所对的边的中点，即为对称轴
偶数边：连接相对的两个边的中点，或者连接相对称的两个顶点，都是对称轴
∴正多边形的对称轴交于一点

3.证明：三角形三条高线交于一点，这点称为三角形的垂心．
已知：△ABC中，三边上的高线分别是AX，BY，CZ，X，Y，Z为垂足，求证：AX，BY，CZ交于一点．（图略）
分析 要证AX，BY，CZ相交于一点，可以考虑利用三角形三边垂直平分线交于一点的现有命题来证，只须构造出一个新三角形A′B′C′，使AX，BY，CZ恰好是△A′B′C′的三边上的垂直平分线，则AX，BY，CZ必然相交于一点．
证分别过A，B，C作对边的平行线，则得到△A′B′C′(图略)．由于四边形A′BAC、四边形AC′BC、四边形ABCB′均为平行四边形，所以AC′ =BC=AB′．由于AX⊥BC于X，且BC‖B′C′，所以AX⊥B′C′于A，那么AX即为B′C′之垂直平分线．同理，BY，CZ分别为A′C′， A′B′的垂直平分线，所以AX，BY，CZ相交于一点H

问题1：这只是工程上近似的画法，不是绝对的5等分

问题2：因为内角的补角和为360，各边对应的中心角合也是360，中心不唯一的话，合必大于360，很难证明，你可以想一下。

问题3：这个很简单啊，你画个图，先做两条高，把交点和剩下那个顶点连起来，延长交于第3边，很容易证它和第3边垂直，没有图很难说。

问题一：我不知道你出的题目是什么。。。不只你是要证明还是要画法，不过这个方法画出来的不是绝对的5等分，可以用三角函数证明，只是很接近而已。
如果你学过三角函数，可以求出内接正五边形的边长，在于用上述方法画出来的AH的长度对比即可知道结果。

问题二和问题三可以用同一种方法证明，而且很简单。
问题二：先画出其中两条对称轴交于O点，找一条边的中点M，连接MO并延长交对面边于N点，则只要证明MN为对称轴即可，要证明MN为对称轴，则只要证明N为对面那一边的中点即可。
问题三：设△ABC中，高AP和高BM交于O点
连接CO并延长交AB于N点，只要证明OC垂直与AB即可
角度转换很容易证明
如果你按我的图形画出来，可帮你证明：
∠ABM+∠CAB=90,∠MOC=∠BAC,∠MOC=∠NOB,所以∠BAC=∠NOB,
所以∠ABM+∠NOB=90，即ON垂直于AB

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招远市13541409977： 数学问题:如何用圆规把一个圆五等分,不允许用量角器. - ？
蹉毛美辛： 先在圆中按此方法:1. 作互相垂直的直径MN和AP; 2. 平分半径OM于K,得OK=KM; 3. 以K为圆心,KA为半径画弧与ON交于H, AH即为正五边形的边长; 4. 以AH为弦长,在圆周上截得A、B、C、D、E各点,顺次连结这些点.作一个正五边ABCDE,再作射线OA、OB、OC、OD、OE,它们与圆周的交点就是五等分点

招远市13541409977： 圆的三等分五等分如何分(用圆规和直尺) - ？
蹉毛美辛： 对于三等分,用圆规量长等于圆半径的一段,然后割圆,每隔两个点一连就行了,出来一个圆内接正三角形,三个顶点就是圆的三等分点. 至于五等分: 1. 作互相垂直的直径MN和AP; 2. 平分半径OM于K,得OK=KM; 3. 以K为圆心,KA为半径画弧与ON交于H, AH即为正五边形的边长; 4. 以AH为弦长,在圆周上截得A、B、C、D、E各点,顺次连结这些点. 作一个正五边ABCDE,再作射线OA、OB、OC、OD、OE,它们与圆周的交点就是五等分点

招远市13541409977： 怎样把一个圆五等分 - ？
蹉毛美辛： 一、单规作图法 以 O 为圆心, a 为半径作一个圆.1、以 a 为半径在圆上相继取相等的弧 AB, BC, CD 和 DE.2、以 AC 为半径, A 和 D 分别为圆心, 作弧相交于 F.3、 以 OF 为半径, A 为圆心作弧交圆 O 于 G.4、仍以 OF 为半径, 分别...

招远市13541409977： 问个数学问题!~用圆规和直尺,怎样将一个圆五等分? - ？
蹉毛美辛： 1、作两条互相垂直的直径AB、CD 2、以B点为圆心,BC为半径,画弧交AB于E, 3、以E点为圆心,EC为半径,画弧交AB于F, 4、已C点为起点,在圆上顺次截取弦长等于CF. 这样就可把圆五等分了.

招远市13541409977： 怎么把一个圆三等分/五等分 - ？
蹉毛美辛： 先用圆规,在圆上取一点,以圆的直径为大圆的半径画圆,再在此点的对面的圆弧上取一点,再以上述方法画圆,两个大院有两个交点,将这两个交点用直线连接,再用上述方法再在圆上取两点、画圆、连结,这两个直线的交点好像、可能、应该、保不齐、差不多就是圆心.剩下的我就不会了.

招远市13541409977： 怎样将一个圆5等分. - ？
蹉毛美辛： 先算出5等分圆弧的长,再算两个点之间的直线距离(用三角算72度角),用尺去找这个距离,然后将两点和圆心连线,找三次就行了 太久没看数学了,未必用的是专业用语

招远市13541409977： 将圆五等分的数学公式? - ？
蹉毛美辛： 圆等分公式p=d*sin*180度/n.将五等分则为p=d*sin*180度/5.

招远市13541409977： 怎么把园五等分,三等分? - ？
蹉毛美辛： 一、把圆五等分的方法: 1、以 O 为圆心, a 为半径作一个圆.2、以 a 为半径在圆上相继取相等的弧 AB, BC, CD 和 DE. 3、以 AC 为半径, A 和 D 分别为圆心, 作弧相交于 F. 4、以 OF 为半径, A 为圆心作弧交圆 O 于 G. 5、仍以 OF ...

招远市13541409977： 用尺子和圆规怎么把一个圆五等分? - ？
蹉毛美辛： 如果是用尺规作图的话,3等分5等分和6等分可以做出来,但是7等分和9等分就做不出来了,这个可以证明可以转化为著名的三等分角问题. 6等分是最好做的,因为圆的内接正六边形的边长恰好等于圆的半径,6等分出来了,3等分自然就出来了....

招远市13541409977： 圆的5等分 - ？
蹉毛美辛： http://bbs2.zhulong.com/forum/detail788836_2.html 先作一圆并四等分,四等分圆见(图1) 作法:取已知圆O上任一点A,以A为一个分点把⊙O六等分,分点依次为A、B、C、D、E、F(如图).分别以A、D为圆心,AC、BD为半径作圆交于G,以A为圆心,OG为半径作圆,交⊙O于M、N,则A、M、D、N即四等分⊙O的圆周. 证明四等分圆的AD和MN的连线是垂直线(图2).再分别以 D、N为圆心,以 AD为半径作弧,两弧相交于H,则OH近似等于该圆内接正五边形的边长,以OH为边长在圆上截点,连结各点便得到一个五角星.(图3)