立体几何常考定理的总结(八大定理)
1.公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内.
若A∈l,B∈l,A∈,B∈,则l⊂.
2.公理2 如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线.
P∈,P∈∩=l,且P∈l.
3.公理3 经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.
推论1 经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面.
推论2 经过两条相交直线,有且只有一个平面.
推论3 经过两条平行直线,有且只有一个平面.
4.异面直线的判定定理:连接平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.(若a⊂α,A/∈α,B∈α,B/∈a,则直线AB和直线a是异面直线.)
5.公理4(空间平行线的传递性):平行于同一条直线的两条直线互相平行.
6.等角定理:如果一个角的两边和另一角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等.
7.定理:如果一条直线垂直于两条平行线中的一条直线,那么它也垂直于另一条直线.
若b∥c,a⊥b,则a⊥c.
8.直线与平面平行的判定定理:如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.
若a⊂/,b⊂,a∥b,则a∥.
9.直线与平面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和交线平行.
若a∥,a⊂β,⋂β=b,则a∥b.
10.直线与平面垂直的判定定理:如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直,这条直线和这个平面垂直.
若m⊂α,n⊂α,m⋂n=O,l⊥m,l⊥n,则l⊥α.
11.:若两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条直线也和这个平面垂直.
若a∥b,a⊥α,则b⊥α.
12.直线与平面垂直的性质定理:若两条直线同时垂直于一个平面,那么这两条直线平行.
若a⊥α,b⊥α,则a∥b.
13.平面与平面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行.
若a,b,a⋂b=A,a∥,b∥,则∥.
14.平面与平面平行的性质定理:如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行.
若∥,∩γ=a,∩γ=b,则a∥b.
15.定理:如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,那么它也垂直于另一个平面.
若α∥β,a⊥α,则a⊥β.
16.两个平面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.
若l⊥,l,则⊥.
17.两个平面垂直的性质定理:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.
若⊥,∩=l,a,a⊥l,则a⊥.
18.两个平面垂直的性质定理:如果两个平面互相垂直,那么过一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线在第一个平面内.
若⊥,P∈,P∈a,a⊥,则a⊂.
19.长方体的体积公式:V长方体=abc,其中a,b,c分别为长方体的长、宽、高.
20.祖暅原理:两个等高(夹在两个平行平面之间)的几何体,如果在任何等高处的截面积都相等,那么这两个几何体的体积相等.
二、常识
1.过空间一点,与已知平面垂直的直线有且只有一条.
2.过空间一点,与已知直线垂直的平面有且只有一个.
3.经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行.
三、常用结论
(可用来解决选择、填空题)
1.空间四点A、B、C、D,若直线AB与CD异面,则AC与BD,AD与BC也一定异面.
2.如果过平面内一点的直线平行于与此平面平行的一条直线,那么这条直线在此平面内.
3.如果过平面内一点的直线垂直于与此平面垂直的一条直线,那么这条直线在此平面内.
4.夹在两个平行平面间的平行线段相等.
5.经过两条异面直线中的一条,有且只有一个平面与另一条直线平行.
6.若直线a同时平行于两个相交平面,则a一定也平行于这两个相交平面的交线.
7.如果一条直线垂直于一个三角形的两边,那么它也垂直于第三边.
8.如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等,那么这一点在平面内的射影在这个角的平分线所在直线上.
9.如果一个平面内有两条相交直线和另一个平面内的两条相交直线分别平行,那么这两个平面平行.
10.平行于同一平面的两个平面平行.
11.空间四面体A-BCD中,若有两对对棱互相垂直,则第三对对棱也互相垂直,且顶点A在平面BCD内的射影是△BCD的垂心(类似地,顶点B在平面ACD内的射影是ΔACD的垂心,…).
12.空间四面体P-ABC中,若PA、PB、PC两两垂直,则
①点P在平面ABC内的射影是ΔABC的垂心;
②△ABC的垂心O也是点P在平面ABC内的射影(PO⊥平面ABC).
13.空间四面体P-ABC中,
①若PA=PB=PC,则点P在平面ABC内的射影是△ABC的外心.
②若三个侧面上的斜高PH1=PH2=PH3,则点P在平面ABC内的射影是△ABC的内心.
高中立体几何梳理(看完立几无难题!!!)
基本概念
公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。
公理2:如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。
公理3: 过不在同一条直线上的三个点,有且只有一个平面。
推论1: 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面。
推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面。
推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面。
公理4 :平行于同一条直线的两条直线互相平行。
等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等。
空间两直线的位置关系:空间两条直线只有三种位置关系:平行、相交、异面
1、按是否共面可分为两类:
(1)共面: 平行、 相交
(2)异面:
异面直线的定义:不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。
异面直线判定定理:用平面内一点与平面外一点的直线,与平面内不经过该点的直线是异面直线。
两异面直线所成的角:范围为 ( 0°,90° ) esp.空间向量法
两异面直线间距离: 公垂线段(有且只有一条) esp.空间向量法
2、若从有无公共点的角度看可分为两类:
(1)有且仅有一个公共点——相交直线;(2)没有公共点—— 平行或异面
直线和平面的位置关系: 直线和平面只有三种位置关系:在平面内、与平面相交、与平面平行
①直线在平面内——有无数个公共点
②直线和平面相交——有且只有一个公共点
直线与平面所成的角:平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。
esp.空间向量法(找平面的法向量)
规定:a、直线与平面垂直时,所成的角为直角,b、直线与平面平行或在平面内,所成的角为0°角
由此得直线和平面所成角的取值范围为 [0°,90°]
最小角定理: 斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角
三垂线定理及逆定理: 如果平面内的一条直线,与这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也与这条斜线垂直
esp.直线和平面垂直
直线和平面垂直的定义:如果一条直线a和一个平面 内的任意一条直线都垂直,我们就说直线a和平面 互相垂直.直线a叫做平面 的垂线,平面 叫做直线a的垂面。
直线与平面垂直的判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面。
直线与平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。
③直线和平面平行——没有公共点
直线和平面平行的定义:如果一条直线和一个平面没有公共点,那么我们就说这条直线和这个平面平行。
直线和平面平行的判定定理:如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行。
直线和平面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行。
两个平面的位置关系:
(1)两个平面互相平行的定义:空间两平面没有公共点
(2)两个平面的位置关系:
两个平面平行-----没有公共点; 两个平面相交-----有一条公共直线。
a、平行
两个平面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行。
两个平面平行的性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么交线平行。
b、相交
二面角
(1) 半平面:平面内的一条直线把这个平面分成两个部分,其中每一个部分叫做半平面。
(2) 二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。二面角的取值范围为 [0°,180°]
(3) 二面角的棱:这一条直线叫做二面角的棱。
(4) 二面角的面:这两个半平面叫做二面角的面。
(5) 二面角的平面角:以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
(6) 直二面角:平面角是直角的二面角叫做直二面角。
esp. 两平面垂直
两平面垂直的定义:两平面相交,如果所成的角是直二面角,就说这两个平面互相垂直。记为 ⊥
两平面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直
两个平面垂直的性质定理:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
Attention:
二面角求法:直接法(作出平面角)、三垂线定理及逆定理、面积射影定理、空间向量之法向量法(注意求出的角与所需要求的角之间的等补关系)
多面体
棱柱
棱柱的定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每两个四边形的公共边都互相平行,这些面围成的几何体叫做棱柱。
棱柱的性质
(1)侧棱都相等,侧面是平行四边形
(2)两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形
(3)过不相邻的两条侧棱的截面(对角面)是平行四边形
棱锥
棱锥的定义:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,这些面围成的几何体叫做棱锥
棱锥的性质:
(1) 侧棱交于一点。侧面都是三角形
(2) 平行于底面的截面与底面是相似的多边形。且其面积比等于截得的棱锥的高与远棱锥高的比的平方
正棱锥
正棱锥的定义:如果一个棱锥底面是正多边形,并且顶点在底面内的射影是底面的中心,这样的棱锥叫做正棱锥。
正棱锥的性质:
(1)各侧棱交于一点且相等,各侧面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底边上的高相等,它叫做正棱锥的斜高。
(3) 多个特殊的直角三角形
esp: a、相邻两侧棱互相垂直的正三棱锥,由三垂线定理可得顶点在底面的射影为底面三角形的垂心。
b、四面体中有三对异面直线,若有两对互相垂直,则可得第三对也互相垂直。且顶点在底面的射影为底面三角形的垂心。
Attention:
1、 注意建立空间直角坐标系
2、 空间向量也可在无坐标系的情况下应用
多面体欧拉公式:V(角)+F(面)-E(棱)=2
正多面体只有五种:正四、六、八、十二、二十面体。
球
attention:
1、 球与球面积的区别
2、 经度(面面角)与纬度(线面角)
3、 球的表面积及体积公式
4、 球内两平行平面间距离的多解性
最主要的还是
第一;自信
第二;放好心态
第三;好好复习,不胡乱想与学习无关的事
第四;放松一下,不要紧张
第五;迎接高考把
祝你成功!!!
高中新课改数学立体几何公式.性质.定理.结论
立体几何 多面体、棱柱、棱锥 --- 多面体 定义 由若干个多边形所围成的几何体叫做多面体。棱柱 斜棱柱:侧棱不垂直于底面的棱柱。直棱柱:侧棱与底面垂直的棱柱。正棱柱:底面是正多边形的直棱柱。棱锥 正棱锥:如果棱锥的底面是正多边形,并且顶点在底面的射影是底面的中心,这样的棱锥叫正棱锥。球...
高中立体几何判定及定理如何记忆
关注 展开全部 不要死记硬背,我认为为几何是好拿高分的一部分。它有规律可循。将所有的定理带进几何图形中去理解。高考答题时不需要你写这个是由什么定理得出的。要注意点,线,面,体的伸缩代入以及变换。定理要理解,不能死记硬背。 已赞过 已踩过< 你对这个回答的评价是? 评论 收起 其他...
帮忙总结高中数学所需初中平面几何的定理、公式、知识点(简单,常用...
二面角求法:直接法(作出平面角)、三垂线定理及逆定理、面积射影定理、空间向量之法向量法(注意求出的角与所需要求的角之间的等补关系)多面体 棱柱 棱柱的定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每两个四边形的公共边都互相平行,这些面围成的几何体叫做棱柱。棱柱的性质 (1)侧棱都...
高中数学立体几何易错知识点总结
9.平面图形的翻折,立体图形的展开等一类问题,要注意翻折,展开前后有关几何元素的“不变量”与“不变性”。10.立几问题的求解分为“作”,“证”,“算”三个环节,你是否只注重了“作”,“算”,而忽视了“证”这一重要环节?11.棱柱及其性质、平行六面体与长方体及其性质。这些知识你掌握了...
立体几何的基本知识有哪些?
可以用来表示空间中的方向和距离。立体几何的基本定理:包括欧几里得定理、毕达哥拉斯定理、空间直线的公理、平面与直线的关系定理等。以上是立体几何的一些基本知识,它们是理解和解决立体几何问题的基础。在学习立体几何时,我们需要掌握这些基本概念和定理,并通过大量的练习来提高我们的解题能力。
快高考了,我想知道高中平面几何、立体几何的所有定理,谢谢!
各种各样的几何立体图形(10张) - 面和线的重合 - 两面角和立体角 - 方块, 长方体, 平行六面体 - 四面体和其他棱锥 - 棱柱 - 八面体, 十二面体, 二十面体 - 圆锥,圆柱 - 球 - 其他二次曲面: 回转椭球, 椭球,抛物面 ,双曲面 公理 立体几何中有4个公理 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内,...
【高中数学】高考冲刺~立体几何必考知识点大合集!
5. 表面积和体积计算:掌握几何体的计算技巧,如球体、柱体和台体的表面积和体积公式,这是解决问题的关键。6. 解题策略:学会利用平行与垂直的论证策略,空间角的计算方法,以及空间距离的计算技巧,这些都是解题的必备工具。7. 小结:熟记一些关键结论,如正四面体体积公式和特殊角定理,以及翻折和展开...
高中学的立体几何中的 定理、公理、性质定理、判定定理。这四者有什 ...
定理有些题目会考(作为证明题考)需要证明,公理不需要证明:性质定理是图形具有的性质,而判定定理是可以判定这个图形具有的某种性质
江苏高考所有可用的立体几何定理,谁帮忙整理一下?
的距离.注:上述的三个距离实质上都是点与点之间的距离,常用的求法有:定义法、等积法、空间向量法.四、简单几何体的侧面积及体积:1. 柱、锥、台的侧面积:其中 (掌握常见几何体的侧面展开图).2. 柱、锥、台的体积:其中 ,球的表面积、体积: , .(球体中运用到的勾股定理: )....
高考数学几何证明选讲常用的公式定理有哪些?
高考数学几何选讲,主要研究的是直线与圆、圆和圆。一般在后40分中,主要考察的是直线与圆的关系研究,主要用到的是:相交弦定理、切割线定理,另外的一些是初中所学的知识,如三角形全等、相似,以及圆的一些知识【弧、角、弦】,应该属于比较容易的问题。【现在学校一般都选择矩阵和极坐标选学的,选...
仲雷三维:[答案] 面面垂直说明:b⊥L不一定成立.如图,设直线a对应AB,则直线b对应BF或者BE都可以满足条件.而直线L则是对应CD.由此可知b⊥L不一定成立.证明α垂直于β实际上就是定理“如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线,那么这两...
大厂回族自治县13323953399: 高中数学立体几何定理.公式 - ?
仲雷三维: 公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在这个平面内. (1)判定直线在平面内的依据 (2)判定点在平面内的方法公理2:如果两个平面有一个公共点,那它还有其它公共点,这些公共点的集合是一条直线 . ...
大厂回族自治县13323953399: 高中几何证明常用的定理有哪些 - ?
仲雷三维: 在立体几何中,用到初中平面几何的定理不多,常用的有: ①平行于同一条直线的两条直线平行; ②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形; ③平行四边形,对边互相平行; ④三角形的中位线,平行于第三边且等于第三边的一半; ⑤等腰三角形底边的中线、顶角的角平分线、底边上的高,三线合一. ⑥勾股定理技巧逆定理
大厂回族自治县13323953399: 立体几何的定理、性质、推论 - ?
仲雷三维: 立几知识整理 一、有关平行的证明 1、 线‖线 ⑴公理4 ⑵ ⑶ ⑷l1‖l2 l1‖α α‖βl1‖l3 l1‖l2 l1‖l2 l1‖l2l2‖l3 α∩β=l2线‖线 线‖线 线‖面 线‖线 面‖面 线‖线 同垂直于一个平面 线‖线2、 线‖面 ⑴ ⑵α‖βa‖α a‖βa‖b...
大厂回族自治县13323953399: 立体几何有关知识总结 - ?
仲雷三维: 立体几何初步:①柱、锥、台、球及其简单组合体等内容是立体几何的基础,也是研究空间问题的基本载体,是高考考查的重要方面,在学习中应注意这些几何体的概念、性质以及对面积、体积公式的理解和运用.②三视图和直观图是认知几何...
大厂回族自治县13323953399: 高中数学重要的定理结论公式 - ?
仲雷三维: f(a-x)=-f(a+x)则f(x)图像关于点(a,0)对称 f(a-x)=f(a+x)则f(x)图像关于直线x=a对称 立体几何和解析几何 1.弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数 2.扇形面积 用曲边三角形s=1/2*l*r l为弧长 3.圆台体积V=1/3*πh(r1方+r1r2+r2方);棱台体积V=1/3h(s1+根号(s...
大厂回族自治县13323953399: 江苏高考所有可用的立体几何定理,谁帮忙整理一下? - ?
仲雷三维: 定理不多.数学书上明白地写着. 不要死记硬背.最轻松的方法就是把这些定理怎么推出来的过程搞透,搞熟.数学书上有这些定理如何推出来的过程. 数学书上的练习题是很精华的.把书后练习题都做透,立体几何基础就没什么问题了,之...
大厂回族自治县13323953399: 高中数学公式及定理总结. - ?
仲雷三维: 1.集合元素具有①确定性②互异性③无序性2.集合表示方法①列举法 ②描述法 ③韦恩图 ④数轴法3.集合的运算 ⑴ A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) ⑵ Cu(A∩B)=CuA∪CuB Cu(A∪B)=CuA∩CuB4.集合的性质 ⑴n元集合的子集数:2n 真子集数:2n-...
大厂回族自治县13323953399: 谁能帮我总结一下高中数学的所有定理和公式呢? - ?
仲雷三维: 1.集合元素具有①确定性②互异性③无序性 2.集合表示方法①列举法 ②描述法 ③韦恩图 ④数轴法 3.集合的运算 ⑴ A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) ⑵ Cu(A∩B)=CuA∪CuB Cu(A∪B)=CuA∩CuB 4.集合的性质 ⑴n元集合的子集数:2n 真子集数:2n...