08年全国高中数学联赛决赛四川赛区答案

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2008年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题参考答案及评分标准
一、选择题（本题满分30分，每小题6分）
1. 如果实数m，n，x，y满足 ， ，其中a，b为常数，那么mx+ny
的最大值为 答：[B]
A. B. C. D.
解 由柯西不等式 ；或三角换元即可得到
，当 ， 时， . 选B.
2. 设 为指数函数 . 在P(1,1)，Q(1,2)，M(2,3)， 四点中，函数
与其反函数 的图像的公共点只可能是点 答：[D]
A. P B. Q C. M D. N
解 取 ，把坐标代入检验， ，而 ，∴公共点只可能是
点N. 选D.
3. 在如图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比
数列，那么 的值为 答：[A]
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4



解 第一、二行后两个数分别为2.5，3与1.25，1.5；第三、四、五列中的 ， ， ，则 . 选A.
4. 如果 的三个内角的余弦值分别是 的三个内角的正弦值，那么
答：[B]
A. 与 都是锐角三角形
B. 是锐角三角形， 是钝角三角形
C. 是钝角三角形， 是锐角三角形
D. 与 都是钝角三角形
解 两个三角形的内角不能有直角； 的内角余弦都大于零，所以是锐角三角形；若 是锐角三角形，则不妨设
cos =sin =cos ， cos =sin =cos ，
cos =sin =cos .
则
， ， ，
即 ，矛盾. 选B.
5. 设a，b是夹角为30°的异面直线，则满足条件“ ， ，且 ”的平面 ， 答： [D]
A. 不存在 B. 有且只有一对
C. 有且只有两对 D. 有无数对
解 任作a的平面 ，可以作无数个. 在b上任取一点M，过M作 的垂线. b与
垂线确定的平面 垂直于 . 选D.
二、填空题（本题满分50分，每小题10分）
6. 设集合 ，其中符号 表示不大于x的最大整数，则
.
解 ∵ ， 的值可取 .
当[x]= ，则 无解； 当[x]= ，则 ，∴x= ；
当[x]=0，则 无解； 当[x]=1，则 ，∴ .
所以 .
7. 同时投掷三颗骰子，于少有一颗骰子掷出6点的概率是 (结果要求写成既约
分数）.
解 考虑对立事件， .
8. 已知点O在 内部， . 的面积之比为5：1.
解 由图， 与 的底边相同，
高是5：1. 故面积比是5：1.


9. 与圆 外切，且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程为 或
.
解 由圆锥曲线的定义，圆心可以是以(2,0)为焦点、 为准线的抛物线上的点；若切点是原点，则圆心在x轴负半轴上.所以轨迹方程为 ，或 .

10. 在 中，若tanAtanB=tanAtanC+tanctanB，则 = 3 .
解 切割化弦，已知等式即 ，
亦即 ，即 =1，即 .
所以， ，故 .

三、解答题（本题满分70分，各小题分别为15分、15分、20分、20分）
11. 已知函数 在 时有最大值1， ，并且 时， 的取值范围为 . 试求m，n的值.
解 由题 ， ……5分
， ，即 ， 上单调减，
且 . ……10分
，n是方程 的两个解，方程即
=0，
解方程，得解为1， ， .
， ， . ……15分
12. A、B为双曲线 上的两个动点，满足 。
（Ⅰ）求证： 为定值；
（Ⅱ）动点P在线段AB上，满足 ，求证：点P在定圆上.
证 （Ⅰ）设点A的坐标为 ，B的坐标为 ，则 ，
，A在双曲线上，则 .
所以 . ……5分
由 得 ，所以 ， .
同理， ，
所以 . ……10分
（Ⅱ）由三角形面积公式，得 ，所以
，即 .
即 .
于是， .
即P在以O为圆心、 为半径的定圆上. ……15分
13. 如图，平面M、N相交于直线l. A、D为l上两点，射线DB在平面M内，射线
DC在平面N内. 已知 ， ， ，且 ， ， 都是
锐角. 求二面角 的平面角的余弦值（用 ， ， 的三角函数值表示）.
解 在平面M中，过A作DA的垂线，
交射线DB于B点；
在平面N中，过A作DA的垂线，
交射线DC于C点.
设DA=1，则
， ，
， ， ……5分
并且 就是二面角 平面角. ……10分
在 中，利用余弦定理，可得等式
，
所以，

= ， ……15分
故得到 . ……20分
14. 能否将下列数组中的数填入3×3的方格表，每个小方格中填一个数，使得每行、每列、两条对角线上的3个数的乘积都相等？若能，请给出一种填法；若不能，请给予证明.（Ⅰ）2,4,6,8,12,18,24,36,48；
（Ⅱ）2,4,6,8,12,18,24,36,72.
解（Ⅰ）不能. ……5分
因为若每行的积都相等，则9个数的积是立方数. 但是
2×4×6×8×12×18×24×36×48=21+2+1+3+2+1+3+2+4×3 =219•38不是立方数，故不能.
（Ⅱ）可以. ……15分
如右表



表中每行、每列及对角线的积都是26•23. ……20分


决赛:
http://www.gaokao.com/jingsailiansai/shuxueliansaitiku/2008-10-13/61089.shtml

构造数列的特征根。代入回去，解出数列递推公式。

一、（本题满分50分）
如题一图，给定凸四边形 ， ， 是平面上的动点，令 ．
（Ⅰ）求证：当 达到最小值时， 四点共圆；
（Ⅱ）设 是 外接圆 的 上一点，满足： ， ， ，又 是 的切线， ，求 的最小值．
[解法一] （Ⅰ）如答一图1，由托勒密不等式，对平面上的任意点 ，有
．
因此
．
因为上面不等式当且仅当 顺次共圆时取等号，因此当且仅当 在 的外接圆且在 上时，
． …10分
又因 ，此不等式当且仅当 共线且 在 上时取等号．因此当且仅当 为 的外接圆与 的交点时， 取最小值 ．
故当 达最小值时， 四点共圆． …20分
（Ⅱ）记 ，则 ，由正弦定理有 ，从而 ，即 ，所以
，
整理得 ， …30分
解得 或 （舍去），
故 ， ．
由已知 = ,有 ，即 ，整理得 ，故 ，可得 ， …40分
从而 ， ， 为等腰直角三角形．因 ，则 ．
又 也是等腰直角三角形，故 ， ， ．
故 ． …50分
[解法二] （Ⅰ）如答一图2，连接 交 的外接圆 于 点（因为 在 外，故 在 上）．
过 分别作 的垂线，两两相交得 ，易知 在 内，从而在 内，记 之三内角分别为 ，则 ，又因 ， ，得 ，同理有 ， ，
所以 ∽ ． …10分
设 ， ， ，
则对平面上任意点 ，有

，
从而 ．
由 点的任意性，知 点是使 达最小值的点．
由点 在 上，故 四点共圆． …20分
（Ⅱ）由（Ⅰ）， 的最小值

，
记 ，则 ，由正弦定理有 ，从而 ，即 ，所以
，
整理得 ， …30分
解得 或 （舍去），
故 ， ．
由已知 = ,有 ，即 ，整理得 ，故 ，可得 ， …40分
所以 ， 为等腰直角三角形， ， ，因为 ， 点在 上， ，所以 为矩形， ，故 ，所以 ． …50分
[解法三] （Ⅰ）引进复平面，仍用 等代表 所对应的复数．
由三角形不等式，对于复数 ，有
，
当且仅当 与 （复向量）同向时取等号．
有 ，
所以
（1）

，
从而

． （2） …10分
（1）式取等号的条件是
复数 与
同向，故存在实数 ，使得
，
，
所以 ，
向量 旋转到 所成的角等于 旋转到 所成的角，
从而 四点共圆．
（2）式取等号的条件显然为 共线且 在 上．
故当 达最小值时 点在 之外接圆上， 四点共圆． …20分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ．
以下同解法一．

二、（本题满分50分）
设 是周期函数， 和1是 的周期且 ．证明：
（Ⅰ）若 为有理数，则存在素数 ，使 是 的周期；
（Ⅱ）若 为无理数，则存在各项均为无理数的数列 满足 ，且每个 都是 的周期．
[证] （Ⅰ）若 是有理数，则存在正整数 使得 且 ，从而存在整数 ，使得
．
于是

是 的周期． …10分
又因 ，从而 ．设 是 的素因子，则 ， ，从而

是 的周期． …20分
（Ⅱ）若 是无理数，令
，
则 ，且 是无理数，令
，
……
，
……． …30分
由数学归纳法易知 均为无理数且 ．又 ，故 ，即 ．因此 是递减数列． …40分
最后证：每个 是 的周期．事实上，因1和 是 的周期，故 亦是 的周期．假设 是 的周期，则 也是 的周期．由数学归纳法，已证得 均是 的周期． …50分

三、（本题满分50分）
设 ， ．证明：当且仅当 时，存在数列 满足以下条件：
（ⅰ） ， ；
（ⅱ） 存在；
（ⅲ） ， ．
[证] 必要性：假设存在 满足（ⅰ），（ⅱ），（iii）．注意到（ⅲ）中式子可化为
， ，
其中 ．
将上式从第1项加到第 项，并注意到 得
． …10分
由（ⅱ）可设 ，将上式取极限得

，
因此 ． …20分
充分性：假设 ．定义多项式函数如下：
， ，
则 在[0,1]上是递增函数，且
， ．
因此方程 在[0,1]内有唯一的根 ，且 ，即 ． …30分
下取数列 为 ， ，则明显地 满足题设条件（ⅰ），且
．
因 ，故 ，因此 ，即 的极限存在，满足（ⅱ）． …40分
最后验证 满足（ⅲ），因 ，即 ，从而
．
综上，存在数列 满足（ⅰ），（ⅱ），（ⅲ）． …50分

2008年全国高中数学联合竞赛加试（A卷）
试题参考答案及评分标准
说明：
1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分；
2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次．
一、（本题满分50分）
如题一图，给定凸四边形 ， ， 是平面上的动点，令 ．
（Ⅰ）求证：当 达到最小值时， 四点共圆；
（Ⅱ）设 是 外接圆 的 上一点，满足： ， ， ，又 是 的切线， ，求 的最小值．
[解法一] （Ⅰ）如答一图1，由托勒密不等式，对平面上的任意点 ，有
．
因此
．
因为上面不等式当且仅当 顺次共圆时取等号，因此当且仅当 在 的外接圆且在 上时，
． …10分
又因 ，此不等式当且仅当 共线且 在 上时取等号．因此当且仅当 为 的外接圆与 的交点时， 取最小值 ．
故当 达最小值时， 四点共圆． …20分
（Ⅱ）记 ，则 ，由正弦定理有 ，从而 ，即 ，所以
，
整理得 ， …30分
解得 或 （舍去），
故 ， ．
由已知 = ,有 ，即 ，整理得 ，故 ，可得 ， …40分
从而 ， ， 为等腰直角三角形．因 ，则 ．
又 也是等腰直角三角形，故 ， ， ．
故 ． …50分
[解法二] （Ⅰ）如答一图2，连接 交 的外接圆 于 点（因为 在 外，故 在 上）．
过 分别作 的垂线，两两相交得 ，易知 在 内，从而在 内，记 之三内角分别为 ，则 ，又因 ， ，得 ，同理有 ， ，
所以 ∽ ． …10分
设 ， ， ，
则对平面上任意点 ，有

，
从而 ．
由 点的任意性，知 点是使 达最小值的点．
由点 在 上，故 四点共圆． …20分
（Ⅱ）由（Ⅰ）， 的最小值

，
记 ，则 ，由正弦定理有 ，从而 ，即 ，所以
，
整理得 ， …30分
解得 或 （舍去），
故 ， ．
由已知 = ,有 ，即 ，整理得 ，故 ，可得 ， …40分
所以 ， 为等腰直角三角形， ， ，因为 ， 点在 上， ，所以 为矩形， ，故 ，所以 ． …50分
[解法三] （Ⅰ）引进复平面，仍用 等代表 所对应的复数．
由三角形不等式，对于复数 ，有
，
当且仅当 与 （复向量）同向时取等号．
有 ，
所以
（1）

，
从而

． （2） …10分
（1）式取等号的条件是
复数 与
同向，故存在实数 ，使得
，
，
所以 ，
向量 旋转到 所成的角等于 旋转到 所成的角，
从而 四点共圆．
（2）式取等号的条件显然为 共线且 在 上．
故当 达最小值时 点在 之外接圆上， 四点共圆． …20分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ．
以下同解法一．

二、（本题满分50分）
设 是周期函数， 和1是 的周期且 ．证明：
（Ⅰ）若 为有理数，则存在素数 ，使 是 的周期；
（Ⅱ）若 为无理数，则存在各项均为无理数的数列 满足 ，且每个 都是 的周期．
[证] （Ⅰ）若 是有理数，则存在正整数 使得 且 ，从而存在整数 ，使得
．
于是

是 的周期． …10分
又因 ，从而 ．设 是 的素因子，则 ， ，从而

是 的周期． …20分
（Ⅱ）若 是无理数，令
，
则 ，且 是无理数，令
，
……
，
……． …30分
由数学归纳法易知 均为无理数且 ．又 ，故 ，即 ．因此 是递减数列． …40分
最后证：每个 是 的周期．事实上，因1和 是 的周期，故 亦是 的周期．假设 是 的周期，则 也是 的周期．由数学归纳法，已证得 均是 的周期． …50分

三、（本题满分50分）
设 ， ．证明：当且仅当 时，存在数列 满足以下条件：
（ⅰ） ， ；
（ⅱ） 存在；
（ⅲ） ， ．
[证] 必要性：假设存在 满足（ⅰ），（ⅱ），（iii）．注意到（ⅲ）中式子可化为
， ，
其中 ．
将上式从第1项加到第 项，并注意到 得
． …10分
由（ⅱ）可设 ，将上式取极限得

，
因此 ． …20分
充分性：假设 ．定义多项式函数如下：
， ，
则 在[0,1]上是递增函数，且
， ．
因此方程 在[0,1]内有唯一的根 ，且 ，即 ． …30分
下取数列 为 ， ，则明显地 满足题设条件（ⅰ），且
．
因 ，故 ，因此 ，即 的极限存在，满足（ⅱ）． …40分
最后验证 满足（ⅲ），因 ，即 ，从而
．
综上，存在数列 满足（ⅰ），（ⅱ），（ⅲ）． …50分

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东山区13876646591： 全国高中数学联赛省一等奖 - ？
睢辰澳立： 每个省份都有全国高中数学联赛,初赛由各省命题,复赛试题全国统一,时间一般在十月份的第二个星期日.由各省自主判卷,一等奖分数线也不尽相同(各省的一等奖和其他省没什么关系). 全国高中数学联赛书:关于初赛的有那种综合全国各地初赛试题的汇编,建议做一做,也练练手.复赛考得就比较活了,要是想了解知识点可以买《奥赛经典》一套,和俗称“小蓝本”一套(到书店和店员说,都知道),要是想了解解题方法可以买单遵的一套《竞赛研究教程》. 其实从初中开始就可以参加,但是一般人都是在高三拿到一等奖(也有那种牛人初中就有了).

东山区13876646591： 全国高中数学联赛 - ？
睢辰澳立： 联赛分为一试和二试,一试基本上是高考压轴题难度,但时间要更紧张一些,也涉及少量课外技巧;二试四道题一般来说是几何,数论,代数,组合各一道,出入不会太大.按总分给出省级一,二,三等奖,省级一等奖的前几名(3到10名左右...

东山区13876646591： 谁有2008年数学竞赛的获奖名单？
睢辰澳立： 国家级:(共14人) 姓名 班级 奖级 指导教师 张 力 初三、二班 一等奖 高红东 程 浩 初三、三班 一等奖 江 英 赵 玮 初三、二班 一等奖 高红东 王梦达 初三、九班 一等奖 程 强 霍玉栋 初三、六班 二等奖 赵治国 马 浩 初三、九班 二等奖 程 强 马 ...

东山区13876646591： 全国高中数学联赛是如何评奖的? - ？
睢辰澳立： 我参加过,评奖的时候是先看一试分的,一试分先要到达三等奖的水平,再看二试分,评出1,2 3等级,如果一试分过于低,就算二试考的再好也没用.不过一般三等奖的人数有挺多的,所以如果二试做的好的人不太会在一试上被淘汰的.

东山区13876646591： 全国高中数学联赛问题 - ？
睢辰澳立： 我记得我们考的时候就说预赛,复赛和决赛. 决赛分两个时间段,分别叫一试和二试. 若像你所说的,那么一试就是预赛吧.决赛(就是二试吧),第一时间段1个小时,考高中内容(比高考内容难一些),共100分;第二个时间段2个小时,共4道题目,一题50分,共200分,是纯竞赛内容,主要考多项式,平面几何,数论,不等式等.

东山区13876646591： 什么水平能参加全国高中数学竞赛,怎么参加?我快上高二了,晚了吗 - ？
睢辰澳立： 一、联赛的原则 联赛原则上面向高中二年级学生,联赛活动要坚持学生自愿参加,以不加重学生负担为原则.二、报名与联赛时间、评奖方法 (一)报名:各县(区)教研室中学数学教研员务必于4月20日前将本县(区)参加联赛的学生总人数...

东山区13876646591： 2008高中数学联赛答案 - ？
睢辰澳立： 一试 选择应该是CDBABC 填空 7. 2+3=5 8. 根3-2 9. 222 10. 没做出来... 11. 2^2008+2007 12. 72*根3 13. 切点...得证 14. 没...(我们是地球人) 15. 8或6或...(尚未确认) 二试 一、 1. 托勒密+两点之间线段最短(你拿条狗证一下) 2. 根10 二、 1. 裴蜀等式 2. 先证T为无理数,再将nT-[nT]排序即可(互不相等) 三、...八一有个哥们证出来了

东山区13876646591： 08年全国数学联赛获奖高考有加分吗? - ？
睢辰澳立： 10月中旬开考 加分制度由省制定,大家都是同道中人··

东山区13876646591： 请告诉我08年四川省化学竞赛获奖名单,谢谢 ？
睢辰澳立： 四川省成都七中 张驰 李思颖 四川省绵阳市南山中学 马毅